不等式的證明方法5篇(已改無錯字)

　　

【正文】 法數(shù)學系數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)不等式的一些證明方法[摘要]：不等式是數(shù)學中非常重要的內(nèi)容,不等式的證明是學習中的重點和難點,本文除總結(jié)不等式的常規(guī)證明方法外,給出了不等式相關(guān)的證明方法在具體實例中的應(yīng)用.[關(guān)鍵詞] 不等式。證明。方法； 應(yīng)用不等式在數(shù)學中占重要地位,由于其本身的完美性及證明的困難性,使不等式成為各類考試中的熱點試題,證明不等式的途徑是對原不等式作代數(shù)變形，在初等數(shù)學中常用的方法有放縮法、代換法、歸納法、,、中學中有關(guān)不等式的證明方法 （1）比較法：證明不等式的基本方法,適應(yīng)面寬.①相減比較法—欲證AB,則證AB0.②相除比較法—欲證AB（A0,B0）,則證1.（2）綜合法：利用平均不等式、二次方程根的判別式、二項式定理、數(shù)列求和等等。此方法靈活性大,需反復(fù)練習.（3）分析法：當綜合法較困難或行不通時,可考慮此法,（共13頁）AB數(shù)學系數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)（4）數(shù)學歸納法：凡與自然數(shù)n有關(guān)的不等式,可考慮此法,但有時使用起來比較困難,探求解題途徑 求證 1+2x4179。2x3+x2分析 用相減比較法證明AB[f(x)]（f(x)g(x)，其中f(x),g(x)同號）,或變形為多個因子的[f(x)]2+[g(x)]乘積、： Q2x42x3x2+1=2x3(x1)(x1)(x+1)=(x1)(2x3x1)=(x1)(2x32x+x1)13=2(x1)2[(x+)2+]442x42x3x2+1179。0\當x206。R時，即 1+2x4179。2x3+x2 證明 n(n+1)n+1+++....+(n1).分析 題中含n,但此題用數(shù)學歸納法不易證明,++188。+(1+1)+(1+）+188。+（1+)23n=2n nn34n+12+++188。+nn2...n+1=nn+1（再變形）=2323nn11111n+1+++....+(1+1)+(1+)+....+(1+)23n=2n證：nnn+1+1n12131n第2頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)2+ =1n34n+1++....+23nn234....n+1=nn+1n23n131n所以 n(n+1)n+1+++....+ 求證：1112+11+?+n(n1,n為自然數(shù))2n 分析 與自然數(shù)有關(guān)的問題,=K時成立,需證n=K+1時也成立,需證明K+K+1K+1,可采用“湊項”的方法： K+1KK+1+1KK+1K+11===K+1K+1K+1K+1K+111+12=2+12=2+2,右邊=2,所以, 2 證：(1)當n=2時,左邊=左邊右邊.(2)假設(shè)n=K時, 1111+11+?+K成立,則當n=K+1時, 2K+1111+?++ K+K+12K+1KKK+1+1K+1 =KK+1K+1=K+1=K+1K+1綜上所述： （1）利用特殊值證明不等式11+11+?+n 2n特殊性存在于一般規(guī)律之中,（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計) 已知ab,b0,a+b=（a+）(b+)≥185。b時，（a+）(b+)≥.故可設(shè)a=+xab2411b= x,(|x|且x185。0)22證：考慮a與b都去特殊值,既當a=b=時有（2+）（2+）=4則a2+1b2+1(a2+1)(b2+1)(ab1)2+111（a+）(b+)=== abababab33(+x2)2+1(+x2)2+125=44=.114x244故原不等式得證.（2）利用分子有理化證明不等式分母有理化是初中數(shù)學教材中重要知識,它有著廣泛的應(yīng)用,而分子有理化也隱含于各種習題之中,它不但有各種廣泛的作用,[1] 求證131212+11 \113+12113+12,1211=112+11, 112+11即 1312四種“平均”之間的關(guān)系,既調(diào)和平均數(shù)H(a)≤幾何平均數(shù)G(a)≤第4頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)算數(shù)平均數(shù)A(a)≤平方平均數(shù)Q(a).寫得再詳細些就是：若a1,a2,a3188。，an都是正實數(shù),則：111aa+12+188。+1≤na1a2188。an≤a1+a2+188。+ann≤a21+a2+188。+ann22an（注：這一串不等式在不等式證明中起著舉足輕重的作用.） 已知ab,求證a+證：a+1≥3(ab)b111=(ab)+b +≥33(ab)b=3(ab)b(ab)b(ab)b（4）充分利用一些重要結(jié)論,使解題簡捷①對實數(shù)a,b,c,d有a2+b2≥2ab=ab+ba。a2+b2+c2ab+bc+ca。a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.②若a,b同號,則+≥2；若a,b,c均為正數(shù),則++≥+b2a+b2 ③若是正數(shù),則≥≥ab≥（當且僅當a=b時等號1122+abbaabbacbac成立）a2+b2+c2a+b+c3 若a,b,c是正數(shù),則≥3abc≥11133++abc（當且僅當a=b=c時等號成立） 若a,b,c0,且a+b+c=1,求證 ++179。9第5頁（共13頁）1a1b1c數(shù)學系數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)分析 證法較多,但由a+b+c=1與++之間的聯(lián)系,：由算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均的關(guān)系可知a+b+c3 179。1113++abc1a1b1c所以 a+b+c179。99, 又a+b+c=1得 163。1111111++++abcabc1a1b1c即 ++179。9.（5）利用式的對稱性證明不等式形如x+y,a2+b2+c2的式子中任意兩個量交換位置后結(jié)果仍不變,這就是“式”對稱, 設(shè)a,b,c,d是正數(shù),且滿足a+b+c+d=1,求證 4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。6證：由4a+19163。44a+1+294=2a+13 注意到對稱有：94(a+b+c+d)+1317(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)163。=422即 4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。6 故原命題得證.（6）用“雙十字法”證明不等式 已知x,y0并且x+y=1 求證：x2+3xy+2y22xy32x221xy11y24x+21y+2證：因 x2+3xy+2y22xy3=(x+2y)(x+y)2xy3第6頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)=(x+2y3)(x+y+1)0 類似的，2x221xy11y24x+21y+2=(2x+y2)(x11y1)0 故結(jié)論成立.（7）用恒等變形推導(dǎo)[2] 求證：對于任意角度q,都有5+8cosq+4cos2q+cos3q≥0證：5+8cosq+4cos2q+cos3q=5+8cosq+4(2cos2q1)+(4cos3q3cosq)=1+5cosq+8cos2q+4cos3q=(1+cosq)(4cos2q+4cosq+1)=(1+cosq)(2cosq+1)2179。0（8）分解為幾個不等式的和或積[2] 已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc證： Qb2+c2179。2bc,a0,\a(b2+c2)179。2abc2222b(c+a)179。2abc,c(a+b)179。Qa,b,c不全相等,所以上述三式中,得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc（注：這里把不等式的各項分別考慮,然后利用不等式的性質(zhì)和推論,證得所求不等式.） 設(shè)a是銳角,求證：(1+11)(1+) 證： Qa是銳角,\0sina1,0cosa1,0sin2a163。1, 這時 1121,1,179。（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)(1+11112)(1+)=1+++（9）利用極限證明不等式[2]證明：當x2(1+2)時,有(2x1)+2(2x3)+3(2x5)+....+xx3證： 在x0的情況下討論,令f(x)=(2x1)+(2x3)+3(2x5)+....+x,g(x)=x3則 f(x)=x(x+1)(2x+1)，6x(x+1)(2x+1)f(x)16于是 lim =lim=x174。165。g(x)x174。165。3x3按極限的定義,對于e=,取d=2(1+2)當|x|d=2(1+2)有f(x)11e= , g(x)3414即 0f(x)71 從而f(x)g(x),(x)12（10）利用平分法證明不等式 若x0,i=1,2,3,且229。xi=1,則i=1311127++163。 2221+x11+x21+x310 證：因為12111911x=時有163。,所以,且當 163。x1ii22331+xi1+xi10111927++163。180。3= 222101+x11+x21+x310故（1）換元法這種方法多用于條件不等式的證明,換元法主要有三角代換和均值代第8頁（共13頁）數(shù)學系數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)2009級年論文(設(shè)計) 已知x2+y2163。1,求證：| x2+2xyy2|≤：令x=rcosq,y=rsinq則 | x2+2xyy2|=|r2(cos2q+2sinqcosqsin2q| =r2|cos2q+sin2q| = r2|2sin(2q+450)|≤1180。21=2[4]設(shè)a,b,c206。R 且a+b+c=1,求證：a2+b2+c2≥.證：a=+α,b=+β,c=+γ, 因為a+b+c=1,所以 a+b+g=0于是有a2+b2+c2=+（a+b+g）+（a2+b2+g2）≥.（2）反證法先假設(shè)所要證明的不等式不成立,即要證的不等式的反面成立,然后從這個假設(shè)出發(fā)進行正確的推理,最終推出與已知條件或已知真命題相矛盾的結(jié)論,從而斷定假設(shè)錯誤,[5]求證：由小于1的三個正數(shù)a,b,c所組成的三個積（1a)b,(1b)c,(1c)a,不能同時大于證：（反證法）假設(shè)（1a)b,(1b)c,(1c)a都大于則有（1a)b(1b)c(1c)a