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構造法與放縮法在不等式證明中的運用(完整版)

2025-10-31 03:31上一頁面

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【正文】 m+a+bm+cm+cm+cm+cabc+于是。R+，p206。R+且abc=1求證111≤1 =+1+a+b1+b+c1+c+a證明：設a=x3,b=y3,c= x、y、z206。N+，求證：1【鞏固提高】已知a,b,c,d都是正數，s=【能力提升】求證: +...abcd+++求證:11+a+b163。【學法指導】，自學課本內容，限時獨立完成導學案；，提交小組討論；—p19,【自主探究】1，放縮法：證明命題時，有時可以通過縮小（或）分式的分母（或），或通過放大（或縮小）被減式（或）來證明不等式，這種證明不等式的方法稱為放縮法。二是利用做題來鞏固、記憶所學的定義、定理、法則、公式，形成良性循環。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。(x)0，j(x)單調遞增，j(x)j(0)=e(0+1)=0，ex1 故當x206。時，h39。(x)=1231。(3)證明：因為g(x)=x+xf39。)，令h(x)=1xxlnx，x206。(1)=0，因此k=1。lnx+k例2：(2012山東)（本小題滿分13分）已知函數f(x)=(k為常數，e=…是ex自然對數的底數)，曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行。231。123n248。231。xxx246。(x)=== 222xxx+1x因為f(x)=x(x+1)ln(x+1),(x0)由（1）知f(x)0，而(x+1)x20 所以g39。(x)=1233。所以f(x)的單調增區間為(1,0)；f(x)的單調減區間為(0,+165。1 1+x11+x21+xn221122xnx12x21xnx12x21++L+179。x+++L+231。248。1246。232。x=，得，x206。(0,1)時，h(x)0；當x206。)時，f39。)，所以1246。232。(x)=ex1=exe0，所以當x206。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。二、部分方法的例題換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。N,k1)1111，22kkk(k1)k(k+1)，③利用平均值不等式，④利用函數單調性放縮。例2：設a、b、c是三角形的邊長，求證abc(bc)2+(ca)2+(ab)2≥ b+cc+aa+b1 [(ab)2+(bc)2+(ca)2]3證明：由不等式的對稱性，不防設a≥b≥c，則3abc0,3bca≥b+c+cca=b+ca0左式－右式=3abc3bca3cab(bc)2+(ca)2+(ab)2 b+ca+ca+b3bca3cab(ca)2+(ab)2 a+ba+b2(b+ca)3bca3cab(ab)2+(ab)2=(ab)2≥0 a+ba+ba+b ≥ ≥[評析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個式了，有了一定的難度。33a+b23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。學生在證明不等式時，常因忽視“放”或“縮”的合理性或把握不住“放”或“縮”的“度”而導致解題失誤甚至思維擱淺。注意到①式右端需要2n+1，因此，對左端每一個因數縮小后應含有2k1，據此便不難找到可行的縮小方式：2k2k2k2k2k+12k+1，==2k12k12k12k12k2k1于是左22+123+12(n1)+12n+12n+12n+1。問題在于這里采用的放大方式11 2k+2(2k+1)2即(2k+1)22k+2(k206。+例4：設a、b206。抓住這一點不難獲得多種可行的縮小方式，組織多種證法。2(1+215925159)=2(1+)=a+b222242對非嚴格不等式的證明，每一次的“放”或“縮”保證等號成立是一個基本的思考點，是放大或縮小的一個必要性要求，但它并不具有充分性。[(a+)+(b+)]2

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