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構造法與放縮法在不等式證明中的運用-資料下載頁

2025-10-19 03:31本頁面

　　

【正文】 1??????① 2①式的左端是形如2k（k=2，3，??，n）的n1個因數的乘積。如果能將每一個2k1因數按照某種規律縮小后能“交叉”約分的話，可望收到化繁為簡之效。注意到①式右端需要2n+1，因此，對左端每一個因數縮小后應含有2k1，據此便不難找到可行的縮小方式：2k2k2k2k2k+12k+1，==2k12k12k12k12k2k1于是左22+123+12(n1)+12n+12n+12n+1。L=312(n1)12n132本題是95年上海的一道高考題，本題通過對待證式子的變形，然后在假分數的分子、分母上加上同一個常數，分數的值縮小，以達到能夠約分的目的，進而得到所證的結果。以上兩個例中的“放”或“縮”的方式都是通過對待證不等式的結構特征進行分析才獲得的“放”或“縮”的方法。然而，對有些不等式而言，合適的“放”或“縮”的方式的獲得并非象上面兩個例子那樣順利。例3：求證：11111+++L+(n206。N)。325272(2n+1)241（k=1，2，?，n）的n項之和，不便于與右2(2k+1)解說：不等式是左邊是形如邊直接比較，于是想到將左邊的每一項按照某種規律放大，求和后再與右邊比較，我們先看下列放大方式：11111111+++L++++L+325272(2n+1)22324252n+111111n=1[1(1)n]1。=3(1++2+L+n1)=122228424121僅觀其表，會認為無懈可擊。問題在于這里采用的放大方式11 2k+2(2k+1)2即(2k+1)22k+2(k206。N)是否合理。通過驗證k的前幾個特殊值可以發現，(2k+1)22k+2對k=1，2，3，4成立，但對k=5，6等不成立，其根源在于忽視了“當k增大時，指數函數2k+2比冪函數(2k+1)2增大得快”這一基本事實。我們再看下述放大方式：1111，=22k(2k+1)2k2k+1(2k+1)左邊11的積，利用它2k12k+1顯然，這種放大方式是行不通的，因為它不能滿足將左邊各項放大后求和的要求，必須對其作些改進。如果將左邊每一項放大后能出現一個常數與將左邊放大后就可“交叉”相消達到求和目的，基于這種想法，考慮放大方式：11111=()，(2k+1)2(2k1)(2k+1)22k12k+1左邊使每一項放大后出現因數1。經嘗試可得： 4111111==()，于是(2k+1)24k2+4k+14k(k+1)4kk+1左邊41212***)]=(1)。nn+14n+14通過對放大方式的反復調整，終于成功了。該例題表明在放、縮方式合理的前提下，放、縮方式是否適度，事先難以預料的，但在證明過程中可以通過對放、縮情況的審視逐步作出調整，選擇適度的放縮方式改進證明。+例4：設a、b206。R，a+b=1，求證：(a+12125)+(b+)2179。?????① ab2解說：如果直接運用二元均值不等式縮小，即采用縮小方式a+11179。2a=2??????????????② aab+11179。2b=2??????????????????③ bb2225知，②、③處的縮小量太大。失敗的根源在于②、③中的21等號無法取得。注意到①是非嚴格不等式，其中等號成立的條件是a=b=，因此，每一2將有左179。2+2=8，由8次縮小都必須保證等號成立的條件得到滿足。抓住這一點不難獲得多種可行的縮小方式，組織多種證法。121111)+(b+)2179。[(a+)+(b+)]2 ab2ab1a+b2111125=[(a+b)+]=(1+)2179。[1+]2= a+b22ab2ab22()21212111ab1++)179。2(ab++2)證法2：(a+)+(b+)179。2(a+)(b+)=2(ab+abababbaab證法1：(a+119491159=2[(ab+)+(+4)]179。2(ab+)=2[(ab+)+]4ab4ab24ab4ab2179。2(1+154ab)9179。2(1+215925159)=2(1+)=a+b222242對非嚴格不等式的證明，每一次的“放”或“縮”保證等號成立是一個基本的思考點，是放大或縮小的一個必要性要求，但它并不具有充分性。

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