數列極限和函數極限最終版(完整版)

　　

【正文】 )(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞)。Lcos=1 2nx174。(5)lim（x174。0cotx。(10)limx174。(8)lim。(2)limx174。n174。165。n174。[x](提示：參照例1)xx174。0xx11lim。x0f(x)A=(當B≠0時)g(x)B4． 設a0xm+a1xm1+L+am1x+amf(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1b0x+b1x+L+bn1x+bn試求 limf(x)x174。x03． 設 limf(x)=A, limg(x)=：x174。0+2x3x270；a2+xa(3x+6)(8x5).（a0）。02x2x1x174。0。x0(x)= A.,證明limf(x0+h)= 174。x174。x0x174。3高等數學(1)標準化作業題參考答案—2班級姓名學號第三節函數的極限一、單項選擇題(x)=A定義中e與d的關系為x174。e，只需n.ennn1+cosn1+cosn233。A．在點A的某一鄰域內部含有{yn}中的無窮多個點{yn}中的無窮多個點{yn}中的無窮多個點{yn}中的有限多個點=A的等價定義是n174。x0（2）函數收斂的柯西準則：x174。bn則數列{}收斂,且 lim=174。a()x174。ax174。x0limf(x)163。x0x206。165。165。lim(xnyn)=limxnlimynn174。limynn174。).（5）保不等式性:即若{an}與{bn}均為收斂數列, 若存在正整數N1，使得當nN1時有ann174。e).()（4）幾何意義是：將極限定義中的四段話用幾何語言表述為對任給e0的,在坐標平面上畫一條以直線y=A為中心線,寬2e為的橫帶,則必存在以直線x=x0為中心線、寬為2d的數帶，使函數y=f(x)的圖像在該數帶中的部分全部落在橫帶內，但點x,f(x0)可能例外（或無意義）.()2．1數列極限的性質收斂數列有如下性質：（1）極限唯一性:若數列{an}收斂,則它只有一個極限.（2）若數列{an}收斂，則{an}為有界數列.（3）若數列{an}有極限，則其任一子列{an}也有極限.39。U(A。x0時的極限，記作limf(x)=174。+165。即有limf(x)=A219。N.（3）幾何意義:對于任何一個以A為中心，e為半徑的開區間(Ae,A+e)，總可以在數列{an}中找到某一項aN，使得其后的所有項都位于這個開區間內，而在該區間之外，最多只有{an}的有限項（N項）.數列是定義在自然數集上的函數,當自變量從小到大依次取自然數時,便得到相應的一系列函數值,其解析表達式為an=f(n)。我們把數列中的n用x來替換后就得到了一個函數f(x),數列和函數的區別在于數列中的點是離散的,而函數是連續的,．2 函數極限定義174。e0,$M0,xM,有f(x)A174。時,函數f(x)以A為極限意味著: A的任意小鄰域內必含有f(x)在+165。x0即limf(x)=A219。e).于是，ed定義又可寫成：任給e0,存在d0,使得一切x206。39。165。165。165。ylimynn174。n174。U176。limg(x).x174。ax174。a通過以上對數列極限與函數極限的介紹,可以知道數列極限與函數極限的本質相同, 數列極限的判別法（1）單調有界定理：:不妨設{an},數列{an}有上確界,記a=sup{an}.下面證明a就是{an},任給e0,按上確界的定義,存在數列{an}中某一項aN,使得ae{an}的遞增性，當nN時有aeaN163。165。x0limf(x)存在的充要條件是:任給, e0，存在正數d(d39。165。2249。x0，,但d的值不唯一，(x)在某點x0極限存在，(x)在點x0的函數值必存在且等于該點極限值(x)在點x0的函數值必存在,但不一定等于該點極限值(x)(x)在點x0的函數值存在，必等于該點極限值(x)=A0，則f(x)0 x174。x0174。2xx25=1。x0h174。x=+x2,x limf(x)= A,證明limf(x174。22x21(x1)+(13x)。(8)limx174。x0（1）lim[f(x)177。+165。(2)。0x174。+165。(2)根據柯西準則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應用它證明limsin 174。165。0x174。x174。0x174。(4)lim231。+165。0n174。253。(6)o(g(x))177。(2)－(1－x)。3x174。0(7)lim231。x2+1246。248。f(2)；(2)limf(x)不存在。(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞)。165。n174。(1)lim(a1+a2+L+an)=+165。In(n!)n174。證明：f(x)186。+165。會應用函數極限的ed定義證明函數的有關命題，并能運用ed語言正確表述函數不以某實數為極限等相應陳述。教學方法：講授為主，輔以練習加深理解，掌握運用。極限可以與很多的數學問題相聯系。x0的極限為例，f(x)在點x0以A極限的定義是：e0,$d0,使當0xx0d時，有f(x)Ae(A為常數).問題的關鍵在于找到符合定義要求的d，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。即如果f(xn)174。例如對于有理分式f(x)=P(x)P(x),Q(x)均為多項式，Q(x)185。165。f(x)163。例如lim，不能直接把sinx替換x174。(x)，f(x)和g(x)的極限同時為0或165。0等類型則需要問題。然而，對于數列，則必須轉化為函數再運用洛必達法則。至于展開式展開多少，則要與題干中的自變量x最高次項保持一致。參見附例4。(0,1)，總存在正整數N,使得當nN時，恒有。xn+1179。n174。2例3：求lim(ntan)n的值。則對limf(x)可以運用洛必達法則，x174。165。,則x174。,原式=limx2（x174。于是，$x206。x248。165。x1=a，數列xn+1+yn+1，試證2文中習題冊是指南開大學薛運華，趙志勇主編的《高等數學習題課講義（上冊）》，為學生用數學練習冊。2e，是數列{xn}收