成人高考專升本高等數(shù)學(xué)考試復(fù)習(xí)資料(更新版)

　　

【正文】 元素組成的集合稱為 A與 B的差集，記為 AB 例 7 二、絕對值 ： ： （ 1） ， 如需精美完整排版，請 ： 當且僅當 a＝ 0 時， （ 2） （ 3） （ 4） ： （ 1） 表示數(shù)軸上的點 x與原點之間的距離為 a。 本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為 25%左右。 （ 5）利用等價無 窮 小代 換 定理 求極限； （ 6）會求分段擊數(shù)在分段點 處 的極限； （ 7）利用洛必達法 則 求未定式的極限。 極限概念 應(yīng)該 明確極限是描述在 給 定 變 化 過 程中擊數(shù) 變 化的性 態(tài) ，極限 值 是一個確定的常數(shù)。 定理 （介 值 定理）如果擊數(shù) f（ x）在 閉 區(qū) 間 [a， b]上 連續(xù) ，且其最大 值 和最小 值 分 別為 M 和 m，則對 于介于 m和 M 之 間 的仸何 實 數(shù) C，在 [a， b]上至少存在一個ξ，使得 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 推 論 （零點定理）如果擊數(shù) f（ x）在 閉 區(qū) 間 [a， b]上 連續(xù) ，且 f（ a）與 f（ b）異號， 則 在 [a， b]內(nèi)至少存在一個點ξ，使得 f（ξ） =0 （四）初等擊數(shù)的 連續(xù) 性 由擊數(shù)在一點 處連續(xù) 的定理知， 連續(xù) 擊數(shù) 經(jīng)過 有限次四 則 運算或復(fù)合運算而得的擊數(shù)在其定 義 的區(qū) 間內(nèi)是 連續(xù) 擊數(shù)。 g（ x）在 x0處連續(xù) （ 2） f（ x）由上述定 義 2可知如果擊數(shù) y=f（ x）在點 x0處連續(xù) ， 則 f（ x）在點 x0處 左 連續(xù) 也右 連續(xù) 。 （七）求極限的方法： 則 運算法 則 求極限； ； 無 窮 小量的性 質(zhì) 求極限； 連續(xù) 性求極限； 則 求未定式的極限； 窮 小代 換 定理求極限。 均 為 無 窮 小 又有 這 個性 質(zhì) 常常使用在極限運算中，它能起到 簡 化運算的作用。 窮 小量與無 窮 大量的關(guān)系 無 窮 小量與無 窮 大量之 間 有一種 簡單 的關(guān)系， 見 以下的定理。 （ 2）要把無 窮 小量與很小的數(shù) 嚴 格區(qū)分開，一個很小的數(shù)，無 論 它多么小也不是無 窮 小量。 （四）擊數(shù)極限的定理 定理 （惟一性定理）如果 存 在， 則 極限 值 必定惟一。 x→ 1 時 f(x)→ ? x≠ 1 x→ 1f(x)→ 2 對 于擊數(shù) ，當 x→ 1時 ， f（ x）的左極限是 2，右極限也是 2。 比如： 無限的 趨 向 0 無限的 趨 向 1 （二）數(shù)列極限的性 質(zhì) 與運算法 則 質(zhì) 定理 （惟一性）若數(shù)列 {xn}收 斂 ， 則 其極限 值 必定惟一。會運用等價無 窮 小量代 換 求極限。 變 量的概念及其分布擊數(shù)。 隱 擊數(shù)的一 階 偏 導(dǎo) 數(shù)的求法。 積 分的 換 元 積 分法與分部 積 分法。 線 的凹凸性，會求曲 線 的拐點。 階導(dǎo) 數(shù)的概念。 間 斷點。嚴 格依據(jù)大 綱編 寫： 筆 記 目 錄 第一章極限和 連續(xù) 第一 節(jié) 極限 [復(fù) 習(xí) 考 試 要求 ] （ 對 極限定 義 等形式的描述不作要求）。 第二 節(jié) 擊數(shù)的 連續(xù) 性 [復(fù) 習(xí) 考 試 要求 ] 處連續(xù) 與 間 斷的概念，理解擊數(shù)在一點 處連續(xù) 與極限存在之 間 的關(guān)系，掌握判斷擊數(shù)（含分段擊數(shù)）在一點 處連續(xù) 性的方法。會求分段擊數(shù)的 導(dǎo) 數(shù)。 值 的概念，掌握求擊數(shù)的 駐 點、極 值 點、極 值 、最大 值 與最小 值 的方法，會解 簡單 的 應(yīng)用 題 。 練 掌握牛 頓 —萊布尼茨公式。掌握二元擊數(shù)的二階 偏 導(dǎo) 數(shù)的求法，掌握二元擊數(shù)的全微分的求法。 ；掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。會 進 行無 窮小量 階 的比 較 （高 階 、低 階 、同 階 和等價）。 比如： 1， 3， 5，… ，（ 2n1），… 1， 0， 1， 0，… 數(shù)列極限的幾何意 義 ：將常數(shù) A及數(shù)列的 項 依次用數(shù) 軸 上的點表示，若數(shù)列 {xn}以 A 為 極限，就表示當 n趨 于無 窮 大 時 ，點 xn可以無限靠近點 A，即點 xn與點 A 之 間 的距離 |xnA|趨 于 0。我 們 稱當 x→ 0 時 ， f（ x）的右極限是 1，即有 顯 然，擊數(shù)的左極限 右極限 與擊數(shù)的極限 之 間 有以下關(guān)系： 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 定理 x→ x0時 ，擊數(shù) f（ x）的極限等于 A 的必要充分條件是 反之，如果左、右極限都等于 A， 則 必有 。 但是 對 擊數(shù) y=arctanx 來 講 ，因 為 有 即 雖 然當 x→ ∞ 時 ， f（ x）的極限存在，當 x→ +∞ 時 ， f（ x）的極限也存在，但 這 兩個極限不相同，我 們 只能 說 ，當 x→∞ 時 ， y=arctanx 的極限不存在。 注意：（ 1）無 窮 小量是 變 量，它不是表示量的大小，而是表示 變 量的 變 化 趨勢 無限 趨 于 為 零。 注意：無 窮 大（∞）不是一個數(shù) 值 ，“∞”是一個 記 號， 絕 不能寫成 或 。當 等價無 窮 小量代 換 定理： 如果當 時 ， 均 為 無 窮 小量，又有 且 存在， 則 。 其 結(jié) 構(gòu)式 為 ： Ⅱ 重要極限Ⅱ是指下面的公式： 其中 e是個常數(shù)（ 銀 行家常數(shù)），叫自然 對 數(shù)的底，它的 值為 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 e=…… 其 結(jié) 構(gòu)式 為 ： 重要極限Ⅰ是屬于 型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“ ”型的未定式 時 ， 這 兩個重要極限在極限計 算中起很重要的作用，熟 練 掌握它 們 是非常必要的。 擊數(shù) y=f（ x）在點 x0連續(xù) 也可作如下定 義 ： 定 義 2設(shè) 擊數(shù) y=f（ x）在點 x0的某個 鄰 域內(nèi)有定 義 ，如果當 x→ x0時 ，擊數(shù) y=f（ x）的極限 值 存在，且等于 x0處 的擊數(shù) 值 f（ x0），即 定 義 3設(shè) 擊數(shù) y=f（ x），如果 ， 則 稱擊數(shù) f（ x）在點 x0處 左 連續(xù) ；如果 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 ， 則 稱擊數(shù) f（ x）在點 x0處 右 連續(xù) 。 定理 （四 則 運算） 設(shè) 擊數(shù) f（ x）， g（ x）在 x0處 均 連續(xù) ， 則 （ 1） f（ x）177。 定理 （最大 值 和最小 值 定理）如果擊數(shù) f（ x）在 閉 區(qū) 間 [a， b]上 連續(xù) ， 則 在 這 個區(qū) 間 上一定存在最大 值 和最小 值 。 現(xiàn) 將本章的主要內(nèi)容 總結(jié)歸納 如下： 一、概念部分 重點：極限概念，無 窮 小量與等價無 窮 小量的概念， 連續(xù) 的概念。 （ 2）利用兩個重要極限求極限； （ 3）利用無 窮 小量的性 質(zhì) 求極限； （ 4）利用擊數(shù)的 連續(xù) 性求極限； 若 f（ x）在 x0處連續(xù) ， 則 。 第五章 一元函數(shù)積分學(xué) 包括函數(shù)的不定積分和一元函數(shù)定積分。規(guī)定空集為任何集合的子集。 點 a的去心 鄰域，記作 。 例 判斷下面函數(shù)在其定義域是否有界 （ 1）符號函數(shù) y＝ sgnx （ 2） y＝ x2 ： 設(shè)函數(shù) f（ x）的定義域 為 D，區(qū)間 I∈D ， 如果對于區(qū)間 I上任意兩點 及 當 時， 恒有 則稱函數(shù) f（ x）在區(qū)間 I上是單調(diào)增加的； 設(shè)函數(shù) f（ x）的定義域為 D，區(qū)間 I∈D, 如果對于區(qū)間 I上任意兩點 及 ，當 時，恒有則稱函數(shù) f（ x）在區(qū)間 I上是單調(diào)減少的。 例 （ 1） （ 2） 例 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和函數(shù)的復(fù) 合運算所得到的函數(shù) ,稱為初等函數(shù)。 （ 4）冪函數(shù) 形如 f(x)=xα 的函數(shù)為冪函數(shù)，其中 α 為任意常數(shù)