成人高考專升本高等數學考試復習資料(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 量。 性 質 3有限個無 窮 小量的乘 積 是無 窮 小量。 性 質 4無 窮 小量除以極限不 為 零的 變 量所得的商是無 窮 小量。 窮 小量的比 較 定 義設 是同一 變 化 過 程中的無 窮 小量，即 。 （ 1）如果 則 稱 是比 較 高 階 的無 窮 小量， 記 作 ； （ 2）如果 則 稱 與 為 同 階 的無 窮 小量； （ 3）如果 則 稱 與 為 等價無 窮 小量， 記為 ； （ 4）如果 則 稱 是比 較 低價的無 窮 小量。當 等價無 窮 小量代 換 定理： 如果當 時 ， 均 為 無 窮 小量，又有 且 存在， 則 。 均 為 無 窮 小 又有 這 個性 質 常常使用在極限運算中，它能起到 簡 化運算的作用。但是必 須 注意：等價無 窮 小量代 換 可以在極限的乘除運算中使用。 常用的等價無 窮 小量代 換 有： 當 時 ， sinx～ x。tan～ x。arctanx～ x。arcsinx～ x。 （六）兩個重要極限 Ⅰ 重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式 令 這 個公式很重要， 應 用它可以 計 算三角擊數的 型的極限 問題 。 其 結 構式 為 ： Ⅱ 重要極限Ⅱ是指下面的公式： 其中 e是個常數（ 銀 行家常數），叫自然 對 數的底，它的 值為 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 e=…… 其 結 構式 為 ： 重要極限Ⅰ是屬于 型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“ ”型的未定式 時 ， 這 兩個重要極限在極限計 算中起很重要的作用，熟 練 掌握它 們 是非常必要的。 （七）求極限的方法： 則 運算法 則 求極限； ； 無 窮 小量的性 質 求極限； 連續 性求極限； 則 求未定式的極限； 窮 小代 換 定理求極限。 基本極限公式 （ 2） （ 3） （ 4） 例 窮 小量 的有關概念 （ 1） [9601]下列 變 量在 給 定 變 化 過 程中 為 無 窮 小量的是 A. B. C. D. [答 ]C A. 發 散 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 D. （ 2） [0202]當 時 ， 與 x 比 較 是 階 的無 窮 小量 窮 小量 階 無 窮 小量 階 的無 窮 小量 [答 ]B 解 :當 , 與 x是 極限的運算： [0611] 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 解： [答案 ]1 例 2. 型因式分解 約 分求極限 （ 1） [0208] [答 ] 解 : （ 2） [0621]計 算 [答 ] 解 : 例 3. 型有理化 約 分求極限 （ 1） [0316]計 算 [答 ] 解 : （ 2） [9516] [答 ] 解 : 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 例 時 求 型的極限 [答 ] （ 1） [0308] 一般地，有 例 Ⅰ求極限 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 （ 1） [9603]下列極限中，成立的是 A. B. C. D. [答 ]B （ 2） [0006] [答 ] 解 : 例 Ⅱ求極限 （ 1） [0416]計 算 [答 ] [解析 ]解一：令 解二： [0306] [0601] （ 2） [0118]計 算 [答 ] 解 : 例 連續 性求極限 [0407] [答 ]0 解 : ， 例 窮 小代 換 定理求極限 [0317] [答 ]0 解 :當 例 處 的極限 （ 1） [0307]設 則 在 的左極限 [答 ]1 [解析 ] （ 2） [0406]設 ,則 [答 ]1 [解析 ] 例 問題 （ 1）已知 則 常數 [解析 ]解法一： ，即 ，得 . 解法二：令 ， 得 ，解得 . 解法三：（洛必達法 則 ） 即 ，得 . （ 2）若 求 a,b 的 值 . [解析 ] 型未定式 . 當 時 ， . 令 于是 ，得 . 即 ， 所以 . [0402] [0017] ， 則 k=_____.（答 :ln2） [解析 ] 前面我 們講 的內容： 極限的概念；極限的性 質 ；極限的運算法 則 ；兩個重要極限；無 窮 小量、無 窮 大量的概念；無 窮 小量的性 質 以及無 窮 小量 階 的比 較 。 第二 節 擊數的 連續 性 [復 習 考 試 要求 ] 處連續 與 間 斷的概念，理解擊數在一點 處連續 與極限存在之 間 的關系，掌握判斷擊數（含分段擊數）在一點 處連續 性的方法。 間 斷點。 閉 區 間 上 連續 擊數的性 質 會用 它 們證 明一些 簡單 命 題 。 義 區 間 上的 連續 性，會利用擊數 連續 性求極限。 [主要知 識 內容 ] （一）擊數 連續 的概念 x0處連續 定 義 1設 擊數 y=f（ x）在點 x0的某個 鄰 域內有定 義 ，如果當自 變 量的改 變 量△ x（初 值為 x0） 趨 近于0 時 ，相 應 的擊數的改 變 量△ y也 趨 近于 0，即 則 稱擊數 y=f（ x）在點 x0處連續 。 擊數 y=f（ x）在點 x0連續 也可作如下定 義 ： 定 義 2設 擊數 y=f（ x）在點 x0的某個 鄰 域內有定 義 ，如果當 x→ x0時 ，擊數 y=f（ x）的極限 值 存在，且等于 x0處 的擊數 值 f（ x0），即 定 義 3設 擊數 y=f（ x），如果 ， 則 稱擊數 f（ x）在點 x0處 左 連續 ；如果 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 ， 則 稱擊數 f（ x）在點 x0處 右 連續 。由上述定 義 2可知如果擊數 y=f（ x）在點 x0處連續 ， 則 f（ x）在點 x0處 左 連續 也右 連續 。 間 [a， b]上 連續 定 義 如果擊數 f（ x）在 閉 區 間 [a， b]上的每一點 x處 都 連續 ， 則 稱 f（ x）在 閉 區 間 [a， b]上 連續 ，并稱 f（ x） 為 [a， b]上的 連續 擊數。 這 里， f（ x）在左端點 a 連續 ，是指 滿 足關系： ，在右端點 b連續 ，是指 滿 足關系： ，即 f（ x）在左端點 a處 是右 連續 ，在右端點 b處 是左 連續 。 可以 證 明：初等擊數在其定 義 的區 間 內都 連續 。 間 斷點 定 義 如果擊數 f（ x）在點 x0處 不 連續則 稱點 x0為 f（ x）一個 間 斷點。 由擊數在某點 連續 的定 義 可知，若 f（ x）在點 x0處 有下列三種情況之一： （ 1）在點 x0處 ， f（ x）沒有定 義 ； （ 2）在點 x0處 ， f（ x）的極限不存在； （ 3） 雖 然在點 x0處 f（ x）有定 義 ，且 存在，但 ， 則 點 x0是 f（ x）一個 間 斷點。 ， 則 f（ x）在 =0,x=1 處 都 間 斷 =0,x=1 處 都 連續 =0 處間 斷， x=1 處連續 =0 處連續 ， x=1 處間 斷 解： x=0 處 ， f（ 0） =0 ∵ f（ 00）≠ f（ 0+0） x=0 為 f（ x）的 間 斷點 x=1 處 ， f（ 1） =1 f（ 10） =f（ 1+0） =f（ 1） ∴ f（ x）在 x=1 處連續 ［答案］ C [9703]設 ，在 x=0 處連續 ， 則 k 等于 B. C. 欲 獲 取完整版 請 ——： 索取 分析： f（ 0） =k