微分方程及其應用ppt課件(更新版)

　　

【正文】 （ r為待定常數(shù)） 代入方程 (2)得 2 0r x r x r xr e p r e q e? ? ?0rxe ? ? 02 ??? qprr (4) 由此可見，只要 r滿足方程 (4)，函數(shù) rxye?就是方程 (2)的解． 定義 稱方程 (4)為微分方程 (2)的特征方程，方程 (4)的兩個根 r1 , r2 稱為特征根． 由于特征方程 (4)的兩個根 2422,1qppr ???? 只能有三種 不同情形，相應地，齊次方程 (2)的通解也有三種不同的形式． ① 當 Δ = p2 4q 0時，特征方程 (4)有兩個不相等的實根 r1≠ r2 ． 由上面的討論知道 1212r x r xy e y e??與是方程 (1)的兩個解． 又 y1與 y2線性無關，因此方程 (2)的通解為 : 1212r x r xy C e C e??② 當 Δ = p2 4q = 0時，特征方程 (4)有兩個相等實根 r = r1 = r2 ． 我們只能得到方程 (1)的一個解 rxey ?1? ? ? ? ? ?2 2 1, rxy u x y u x y u x e? ? ?設 即對 y2求導得 ? ?? ?222 2r x r x r xrxy u e u r e u r u ey u r u r u e? ? ?? ? ? ??? ?? ?? ? ?222,yyy? ??將 代入方程 (2)， 得 ? ? ? ?? ? 02 2 ?????????? quruupururue rx0rxe ?? ? ? ?220u r p u r p r q u?? ?? ? ? ? ? ? ?又 r是特征方程的二重根， 22 0 , 0r p r p r q? ? ? ? ?所 以0???u因為 u(x)不是常數(shù)，不妨取 u(x)= x， 這樣得到方程（ 2）的 另一個解 2 ,rxy xe? 從而方程（ 2）的通解為 ? ?1 2 1 2r x r x r xy C e C x e C C x e? ? ? ?③ 如果 Δ = p2 4q 0，即特征方程 (4)有一對共軛復根 ? ?12 ,0r i r i? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?12 ( 2 ) .i x i xy e y e? ? ? ?????則 和 是 方 程 的 兩 個 復 數(shù) 形 式 的 解為了求出方程 (2)的兩個實數(shù)形式的解，利用歐拉公式 c o s s i niei? ????將 y1與 y2分別改寫為 ? ?? ?12c o s s i nc o s s i nx i x xx i x xy e e e x i xy e e e x i x? ? ?? ? ??????? ? ?? ? ?由定理 1知， ? ?? ?1211221c os21sin2xxy y y e xy y y e xi????? ? ?? ? ?仍是方程 (2)的解，這時 21s i n t a nc osxxy ex xexy??? ????不是常數(shù)， 1212 ( 2 ) .y C y C y??所 以 是 方 程 的 通 解? ?1 2 1 2c o s s in c o s s inx x xy C e x C e x e C x C x? ? ?? ? ? ?? ? ? ?即 綜上，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解的步驟如下： 第一步 寫出方程的特征方程 2 0。第六章 微分方程及其應用 常微分方程的基本概念與分離變量法 一階線性微分方程 二階常系數(shù)線性微分方程 常微分在經(jīng)濟中應用 常微分方程的基本概念與分離變量法 微分方程的基本概念 1. 微分方程 含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程稱為微分方程 。r p r q? ? ?第二步 求出特征方程的兩個根 r1及 r2 。 （ 2 ）求當價格為 1 元時 , 市場對該商品的需求量 。 2. 微分方程的階 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階 . 22( 1 ) dy xydx ?如 一 階? ?5( 2 ) c o s 4 0y y x? ? ? 五 階( 3 ) 4 1 3 0y y y?? ?? ? ? 二 階2( 4 ) 2 0x y y y x??? ? ? 一 階一般地， n 階微分方程的一般形式為： ? ?? ?,0 nF x y y y? ?， ， ，3. 微分方程的解 、 通解 （ 1） 若某函數(shù)代入微分方程后 ， 能使該方程兩端恒等 ， 則這個函 數(shù)為該微分方程的解 。xyC? ? ? ? ?將 代 入 通 解 中 得1 2 1 2 10 1 1 , 2 ,xxy y C C e C C C???? ? ? ? ? ?將 代 入 中 得 , 則2. xy x e??于 是 所 求 特 解 為 分離變量法 1．定義 形如 ? ? ? ? (1 )dy f x g ydx ?的方程稱為可分離變量的方程 . 特點 等式右端可以分解成兩個函數(shù)之積 ， 其中一個只是 x 的函數(shù) ， 另一個只是 y的函數(shù) ? ? ? ?ygxfdxdy ?2． 解法 設 ? ? ? ? ? ?? ?1 0d y f x d x g ygy ??分 離 變 量 得當 g(y)≠0 時，兩端積分得通解 ? ? ? ?1 dy f x dxgy ???? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 x N y d x M x N y d y??(2) 方 程 也 是 變 量 可 分 離 的 方 程注 (1)當 g(y)=0時，設其根為 y =α ，則 y =α 也是原方程的解； ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?2112120 , 0N y M xd y d x N y M xN y M x? ? ? ?事 實 上3 d y xd x y??例 求 微 分 方 程 的 通 解 .解 分離變量，得 ydy = xdx , 2211122y x C? ? ?兩 邊 積 分 得? ?22 y C C C? ? ?即 為 所 給 方 程 的 通 解? ?? ?21214 1 .1 xxydy ydx yx ??? ? ??例 求 方 程 滿 足 初 始 條 件 的 特 解2211yxd y d x????解 分 離 變 量 , 得? ? ? ?221 1 1, l n 1 l n 1 l n2 2 2y x C? ? ? ? ?兩 端 積 分 得? ? ? ?2211 x y C? ? ?即 原 方 程 的 通 解 為1 1 , 4 ,xyC? ??由 得? ? ? ?22, 1 1 4 .xy? ? ?因 此 滿 足 初 始 條 件 的 特 解 為 說明：在解微分方程時 ， 如果得到一個含對數(shù)的等式 ， 為了 利用對數(shù)的性質(zhì)將結果進一步化簡 ， 可將任意常數(shù)寫成 klnC的形 式 ， k的值可根據(jù)實際情況來確定 ， 如例 2中取 k=1/2. 例 5 設降落傘從跳傘臺下落 ， 所受空氣阻力與速度成正比 ， 降落傘 離開塔頂 (t = 0)時的速度為零 。 （ 2 ）放養(yǎng) 6 個月后池塘內(nèi)又有多少尾魚 ?