微分方程及其應用ppt課件-資料下載頁

　　

【正文】 確定 Q m(x)的系數(shù) 所以方程 (5)的一個特解為 ? ?2 xpmy x Q x e ??綜上所述 ， 我們有如下結(jié)論： 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 ? ? xmy p y q y P x e ??? ?? ? ? (5) 具有形如 ? ?kxpmy x Q x e ??的特解，其中 Q m(x)為 m 次多項式， k的確定如下： 012k?????????， 不 是 特 征 根， 是 特 征 單 根， 是 特 征 重 根? ? ? ? ? ?2 . c o s s i nx lnf x e P x x P x x? ???????? 型根據(jù)歐拉公式及前面分析的結(jié)果可以推出下面的結(jié)論（討論過程 從略）： ? ? ? ? ? ?c o s s i nx lnf x e P x x P x x? ????????如 果? ? :y p y q y f x?? ?? ? ?則 微 分 方 程 有 如 下 形 式 的 特 解? ? ? ?c o s s i nkxp m my x e Q x x R x x? ???????? 其中 Q m(x)與 R m(x) 均為 m次多項式 (m = max{l， n})， 其系數(shù) 待定 ， 而 01iki???????? ??， 當 不 是 特 征 根， 當 是 特 征 根5. yy?? ???例 求 微 分 方 程 的 一 個 特 解 解 原方程對應的齊次方程的特征方程為 2 0rr??其特征根為 1201rr? ? ?? ? 0 0xf x x e ???? ? 02xpy A x B x e A x B x? ? ? ? ?令2 , 2ppy A x B y A??? ? ?則代入原方程得 ? ?22A A x B x? ? ?即 22A x A B x? ? ?比較系數(shù)得： 1212201A AAB B?? ?? ??????? ? ???所以 212py x x??36 6 9 .xy y y e?? ?? ? ?例 求 微 分 方 程 的 通 解解 對應的特征方程為 2 6 9 0rr? ? ?特征根 12 3rr?? （ 重 根 ）所以，齊次方程的通解為 ? ?312 xcy C C x e??? ? 3 xf x e?又 中 , λ =3 恰是二重特征根 23 xpy A x e?令? ?3 2 3 3 22 3 2 3x x xpy A x e A x e e A x A x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?3 2 3 3 23 2 3 2 6 2 1 2 9x x xpy e A x A x A A x e e A A x A x? ? ? ? ? ? ? ?代入原方程后化簡得： 1212AA? ? ?于是 2312xpy x e?所以，原方程的通解為 ? ? 3 2 312 12xxcpy y y C C x e x e? ? ? ? ?? ? 22 5 3 .xy y x e?? ?? ? ?例 7 求 微 分 方 程 的 通 解解 對應的特征方程為 2 20rr??特征根 120 , 2rr??對應的齊次方程的通解為 0 2 21 2 1 2x x xcy C e C e C C e? ? ? ?? ? ? ?53f x x e??又 中 ,λ =2 是特征單根， ? ? 2 xpy x a x b e??所 以 ,令? ? ? ?2 2 222 xxpy a x b e a x b x e? ? ? ? ?于 是? ? ? ?2 2 2 22 4 2 4x x xpy a e a x b e a x b x e? ? ? ? ? ?代入原方程得： ? ? ? ?2 2 2 22 4 2 4x x xa e a x b e a x b x e? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 22 2 4 5 3x x xa x b e a x b x e x e? ? ? ? ? ?整理得： ? ?4 2 2 5 3a x a b x? ? ? ?比較兩端得 5144ab??，于是 2 2 25 1 5 14 4 4 4xxpy x x e x x e? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?故所給方程的通解為 2 2 2125144xxy C C e x x e??? ? ? ?????8 4 c o s 2 .yy?? ??例 求 微 分 方 程 的 一 個 特 解 解 特征方程為 2 40r ??特征根為 1222r i r i? ? ?? ? c o s 2 ,f x x?又 中 2ii??? ? ? 是 特 征 根? ?0, c o s 2 s in 2xpy x e A x B x??所 以 令代入原方程得 4 s i n 2 4 c o s 2 c o s 2A x B x x? ? ?比較等式兩端得： 014AB???? ???于是 1s in 24py x x?29 4 3 c o s 2 .xy y e x?? ? ? ?例 求 微 分 方 程 的 一 個 特 解? ? ? ? ? ? 212 3 c o s 2xf x f x f x e x? ? ? ?解 因 為由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理可知 ， 所給方程的特解形式為 12p p py y y??12ppyy其 中 與 分 別 是 方 程 24 3 4 c o s 2xy y e y y x?? ??? ? ? ?和的特解． 22134 3 .8xxpy y e y e?? ? ? ?可 以 求 出 的 一 個 特 解 為4 c o s 2y y x?? ??由 上 例 知 的 一 個 特 解 為21 s i n 24py x x?因此所給方程的特解為 21231 s i n 2 .84xp p py y y e x x? ? ? ? 常微分在經(jīng)濟應用 .1 關(guān)于商品需求方面 例 某商品的需求量Q是價格 P 的函數(shù) , 已知它的需求價格彈性為l n 5P? ??, 若該商品的最大需求量為 12 00kg（P的單位為元） . （ 1 ）試求需求量Q與價格P的函數(shù)關(guān)系式 。 （ 2 ）求當價格為 1 元時 , 市場對該商品的需求量 。 (3) 當P ? ? ?時 , 需求量的變化趨勢如何 ? . 2 關(guān)于連續(xù)復利方面 例 假設銀行年利率為r，現(xiàn)存入0A元，試分析銀行的利率分別按年復合、季復合、月復合、日復合及連續(xù)復合時 : （ 1 ） t 年后 , 總金額()A A t?的計算公式 。 （ 2 ） 當6%r ?, 010000A ?元時 , 算出 1 年后 , 本息合計( 1 )A分別為多少 ? （ 3 ） 連續(xù)復合時 , 總金額()At所滿足的微分方程 . . 3 關(guān)于未來預測方面 例 在某池塘內(nèi)養(yǎng)魚 , 該池塘內(nèi)最多能養(yǎng) 1000 尾 , 設在t時刻該池塘內(nèi)魚數(shù)為()yt是時間t（月）的函數(shù) , 其變化率與魚數(shù)y及1000 y?的乘積成正比（比例常數(shù)為0k ?） . 已知在池塘內(nèi)放養(yǎng)魚 1 00尾 , 3 個月后池塘內(nèi)有魚 25 0 尾 , 試求 : （ 1 ）在 t 時刻池塘內(nèi)魚數(shù)()yt的計算公式 。 （ 2 ）放養(yǎng) 6 個月后池塘內(nèi)又有多少尾魚 ?