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數(shù)學經(jīng)典例題集錦：數(shù)列含答案資料(更新版)

2026-08-06 05:51上一頁面

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【正文】 ∴例題3. 已知數(shù)列的前三項與數(shù)列的前三項對應相同，且對任意的都成立，數(shù)列是等差數(shù)列. ⑴求數(shù)列與的通項公式；⑵是否存在，使得，請說明理由. 點撥：（1）左邊相當于是數(shù)列前n項和的形式，可以聯(lián)想到已知求的方法，當時，. （2）把看作一個函數(shù)，利用函數(shù)的思想方法來研究的取值情況. 解：（1）已知…）①時，…）②①－②得，求得，在①中令，可得得，所以N*）. 由題意，所以，∴數(shù)列的公差為，∴，）. （2），當時，單調(diào)遞增，且，所以時，又，所以，不存在，使得. 例題4. 設各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足：an、bn、an+1成等差數(shù)列，bn、an+bn+1成等比數(shù)列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通項an，bn 解：依題意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 ① a2n+1 = bnbn+1 ②∵ an、bn為正數(shù)，由②得，代入①并同除以得：，∴ 為等差數(shù)列∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ，，∴ ，∴當n≥2時，又a1 = 1，當n = 1時成立， ∴2. 研究前n項和的性質(zhì)例題5. 已知等比數(shù)列的前項和為，且. （1）求、的值及數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.解：（1）時，.而為等比數(shù)列，得，又，得，.（2），），得，.例題6. 數(shù)列是首項為1000，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的前項和的最大值；（2）求數(shù)列的前項和. 解：（1）由題意：，∴，∴數(shù)列是首項為3，公差為的等差數(shù)列， ∴，∴ 由，得，∴數(shù)列的前項和的最大值為. （2）由（1）當時，當時， ∴當時，當時， ∴. 例題7. 已知遞增的等比數(shù)列{}滿足，且是，的等差中項. （1）求{}的通項公式；（2）若，求使成立的的最小值. 解：（1）設等比數(shù)列的公比為q（q＞1），由 a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）∴an=223+…+n3n=0，解得p=2或p=3. （Ⅱ）設{an}、{bn}的公比分別為p、q，p≠q，=an+bn. 為證{}不是等比數(shù)列只需證≠c1

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