20xx年普通高等學校招生全國統一考試數學試題理全國卷2，參考解析(更新版)

　　

【正文】 ，所以 ln 0ax a x?? ≥ ． 令 ? ? lng x ax a x? ? ? ，則 ??10g ? ， ? ? 11axg x axx?? ? ? ?， 當 0a≤ 時， ? ? 0gx? ? ， ??gx單調遞減，但 ??10g ? ， 1x? 時， ? ? 0gx? ； 當 0a? 時，令 ? ? 0gx? ? ，得 1xa?． 當 10 xa??時， ? ? 0gx? ? ， ??gx單調減；當 1xa?時， ? ? 0gx? ? ， ??gx 單調增． 若 01a??，則 ??gx在 11a??????，上單調減， ? ?1 10gga????????； 若 1a? ，則 ??gx在 1 1a??????，上單調增， ? ?1 10gga????????； 若 1a? ，則 ? ? ? ?m in 1 10g x g ga??? ? ?????， ? ? 0gx≥ ． 綜上， 1a? ． ⑵ ? ? 2 lnf x x x x x? ? ? ， ? ? 2 2 lnf x x x? ? ? ? ， 0x? ． 令 ? ? 2 2 lnh x x x? ? ? ，則 ? ? 1 2 12 xhxxx?? ? ? ?， 0x? ． 令 ? ? 0hx? ? 得 12x?， 當 10 2x?? 時， ? ? 0hx? ? ， ??hx 單調遞減；當 12x?時， ? ? 0hx? ? ， ??hx 單調遞增． 所以， ? ?m i n 1 1 2 ln 2 02h x h ??? ? ? ? ?????． 因為 ? ?22e 2e 0h ????， ? ?2 2 ln 2 0h ? ? ?， 2 1e02? ???????， 122??? ??????， 所以在 102??????，和 12????????，上， ??hx 即 ??fx? 各有一個零點． 設 ??fx? 在 102??????，和 12????????，上的零點分別為 02xx， ，因為 ??fx? 在 102??????，上單調減 ， 所以當 00 xx?? 時， ? ? 0fx? ? ， ??fx單調增；當0 12xx??時， ? ? 0fx? ? ， ??fx單調減．因此， 0x 是 ??fx的極大值點． 因為， ??fx? 在 12????????，上單調增，所以當212 xx??時， ? ? 0fx? ? ， ??fx單調減， 2xx? 時， ??fx單調增，因此 2x 是 ??fx的極小值點． 所以， ??fx有唯一的極大值點 0x ． 由前面的證明可知，20 1e 2x ????????，則 ? ? ? ?2 4 2 20 e e e ef x f ? ? ? ?? ? ? ?． 因為 ? ?0 0 02 2 ln 0f x x x? ? ? ? ?，所以 00ln 2 2xx??，則 又 ? ? ? ?220 0 0 0 0 0 022f x x x x x x x? ? ? ? ? ?，因為0 10 2x??，所以 ? ?0 14fx?． 因此， ? ?20 1e 4fx? ??． 22． 【解析】⑴設 ? ? ? ?00MP? ? ? ?， ， ， 則 0 ||O M O P????， ． 000016cos 4?????????????? 解得 4cos??? ，化為直角坐標系方程為 ? ?2 224xy? ? ? ． ? ?0x? ⑵連接 AC ，易知 AOC△ 為正三角形 ． ||OA 為定值 ． ∴當高最大時， AOBS△ 面積最大， 如圖，過圓心 C 作 AO 垂線，交 AO 于 H 點 交圓 C 于 B 點， 此時 AOBS△ 最大 m ax 1 | | | |2S AO H B? ? ? ?1 | | | | | |2 A O H C B C?? 32?? 23． 【解析】⑴由柯西不等式得： ? ? ? ? ? ? ? ?2 25 5 5 5 3 3 4a b a b a a b b a b? ? ? ? ? ?≥ ?? 當且僅當 55ab ba? ，即 1ab?? 時取等號 ． ⑵ ∵ 332ab?? ∴ ? ?? ?22 2a b a ab b? ? ? ? ∴ ? ? ? ?2 32a b b a b???? ? ? ??? ∴ ? ? ? ?3 32a b ab a b? ? ? ? ∴ ? ?? ?3 23ab abab???? 由均值不等式可得： ? ?? ?3 2232ab ababab?? ???? ??? ??≤ ∴ ? ?? ?3 2232ab abab?? ?????? ??≤ ∴ ? ? ? ?33 324abab ??? ≤ ∴ ? ?31 24 ab? ≤ ∴ 2ab? ≤ 當且僅當 1ab?? 時等號成立 ． 。第 2 23 題為選考題，考生根據要求作答。 絕密★啟用前 2017 年普通高等學校招生全國統一考試 理科數學 注意事項： ，考生 先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內 。第 17~21 題為必做題，每個試題考生都必須作