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北師大版選修2-2高中數學322最大值、最小值問題(一)(更新版)

2026-01-28 00:14上一頁面

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【正文】 2. ∴ f′ (x)＝ 3x2－ x－ 4＝ (3x－ 4)(x＋ 1)．令 f′ (x)＝ 0，則 x＝ 43或 x＝－ 1， ∴ 當 x∈ [－ 2，－ 1)時， f′ (x)0， f(x)為增函數；當 x∈ ??? ???－ 1， 43 時， f′ (x)0， f(x)為減函數；當 x∈ ??? ???43， 2 時， f′ (x)0， f(x)為增函數； ∵ f(－ 1)＝ 92， f(2)＝ 0f(－ 1)， f(－ 2)＝ 0， f??? ???43 ＝－ 5027f(－ 2)． ∴ f(x)在 [－ 2,2]上的最大值為 f(－ 1)＝ 92， f(x)在區間 [－ 2,2]上的最小值為 f??? ???43 ＝－ 5027. 12． (創新拓展 )設函數 f(x)＝ ax＋ ln x， g(x)＝ a2x2，是否存在正實數 a，使 f(x)≤ g(x)對一切正實數 x 都成立？若存在，求出 a 的取值范圍；若不存在，請說明理由．解假設存在正實數 a 使 f(x)≤ g(x)對一切正實數 x 都成立．令 F(x)＝ f(x)－ g(x)＝ ax＋ ln x－ a2x2(x0)，則 [F(x)]max≤ F′ (x)＝ a＋ 1x－ 2a2x ＝ ax＋ 1－ 2a2x2x ，令 F′ (x)＝ 0，即 2a2x2－ ax－ 1＝ 0，解得 x＝ 1a或 x＝－ 12a(舍 )．當 x1a時， F′ (x)＜ 0， F(x)為減函數；當 0x1a時， F′ (x)0， F(x)為增函數．所以 [F(x)]max＝ F??? ???1a ＝ ln1a≤ 0，所以 a≥ 1，故 a 的取值范圍為 [1，＋ ∞ ).

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