放縮法(不等式、數列綜合應用)(更新版)

　　

【正文】 在滿足條件（2）的情形下，設錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。公比為錯誤！未找到引用源。④ 若放縮后求和發現放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調：看能否讓數列中的一些項不動，其余項放縮。的最大值．放縮法證明數列不等式基礎知識回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數列求和方法和通項公式特點：① 等差數列求和公式：錯誤！未找到引用源。成等差數列，①求數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。求錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。為常數．（1）是否存在數列錯誤！未找到引用源。求數列錯誤！未找到引用源。．（1）求數列錯誤！未找到引用源。3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學期期中考試】已知數列的前項和為，滿足，．數列滿足（1）求數列（2）若和，且． 的通項公式；，數列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數的取值范圍；（3）是否存在正整數，使，請說明理由．）成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，4．已知數列錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。．⑴ 求證：數列錯誤！未找到引用源。；（2）求錯誤！未找到引用源。實戰演練: 1．【江蘇省無錫市普通高中2018屆高三上學期期中】已知數列錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。的取值范圍．！未找到引用源。為等比數列，求錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。即可猜想該等比數列的首項為錯誤！未找到引用源。等比”的形式④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項（2）與求和相關的不等式的放縮技巧：① 在數列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數列的通項公式入手② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應與所證的不等號同方向）③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數列的通項公式靠攏，常見的是向等比數列與可裂項相消的數列進行靠攏。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。利用基本不等式放縮例已知an=5n41對任何正整數m，n都成立.1，只要證5amn1+aman+.因為 amn=5mn4，aman=(5m4)(5n4)=25mn20(m+n)+16，故只要證5(5mn4)1+25mn20(m+n)+16+ 即只要證20m+20n37因為am+an=5m+5n85m+5n8+(15m+15n29)=20m+20n37，再利用基本不等式由am+、先適當組合, 排序, 再逐項比較或放縮 例.已知i，m、n是正整數，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)＞(1+n)iinm證明：(1)對于1＜i≤m，且Aim =m(akak+1)ak+2k=11n11163。,求證：229。.,k=1,2,...,n, ak+12122(2k+11)+2k2232k\aa1a2n1111n11n1++...+n179。第一篇：放縮法(不等式、數列綜合應用)“放縮法”證明不等式的基本策略近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，而不等式的證明是高中數學中的一個難點，它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。N*).23a2a3an+1ak2k11111111證明： Q=k+1==179。先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）k例已知an=n，求證：∑＜3．k=1akn證明：∑k=1nn2ak∑k=1n＜1＋∑k=2n(k－1)k(k＋1)=1+k=2n＜１＋∑k=2(k－1)(k＋1)（k＋1 ＋k－1)=1＋ ∑（k=2n－)(k－1)(k＋1)=1＋1＋＜2＋＜3．(n＋1)22本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，、放大或縮小“因式”；n1例已知數列{an}滿足an+1=a,0a1163。, 241616\229。固定一部分項，放縮另外的項；例求證：11117+++L+ 122232n24證明：Q1=n2n(n1)n1n\1111111115117+++L+1++(+L+)=+().122232n22223n1n42n4此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。要想正確確定放縮目標，就必須根據欲證結論，抓住題目的特點。的指數類函數）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。例如常數錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。若數列錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。定義錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。成等比數列？若存在，給出錯誤！未找到引用源。、規律歸納: 常見的放縮變形：（1）錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。為等比數列，并求其通項錯誤！未找到引用源。其中錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。⑶錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。．6．【江蘇省泰州中學2018屆高三上學期開學考試】已知兩個無窮數列分別滿足，其中（1）若數列（2）若數列①若數列②若數列，設數列的前項和分別為的通項公式；，使得，稱數列.都為遞增數列，求數列滿足：存在唯一的正整數“墜點數列”，求 為“墜點數列”，數列為“墜點數列”.為“墜點數列”，是否存在正整數，使得，若存在，求的最大值；若不存在，．【江蘇省南京師范大學附屬中學2017屆高三高考模擬一】已知數集錯誤！未找到引用源。；（2）若錯誤！未找到引用源。均有錯誤！未找到引用源。其中n∈N*．（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{}的通項公式；（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤，求證：數列{an}是等差數列．10．已知各項不為零的數列錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。等比”的形式④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項（2）與求和相關的不等式的放縮技巧：① 在數列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數列的通項公式入手② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應與所證的不等號同方向）③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數列的通項公式靠攏，常見的是向等比數列與可裂項相消的數列進行靠攏。即可猜想該等比數列的首項為錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。為等比數列，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍．【答案】（1）錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.對數列錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數，若，求證：；錯誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯誤！未找到引用源。.（2）因為錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。是否為等比數列；②設錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。記數列錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。為偶數時，滿足錯誤！未找到引用源。為偶數時，②式成立，即當錯誤！未找到引用源。為等差數列；⑵ 設錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數、n是偶數兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數的形式。時，上式成立，因為錯誤！未找到引用源。； 當錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。．（3）當錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。構成數集錯誤！未找到引用源。再將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。對任意錯誤！未找到引用源。（3）見解析解：（1）設等差數列錯誤！未找到引用源。都是公差為錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。因為錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。(n＋2)＝錯誤！未找到引用源。成等比數列，求實數錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。2n+1+=(4n23n)180。所以：229。2求證：（1）11+法1：數歸（兩邊都可以）法2：放縮裂項 法3：定積分放縮（2）22L+n206。N)234。2)；212n+1nk!k(k1)(k2)nan=例3：已知：1(n206。（3）120061a1+1a2+L+1a20061。2)n\229。f(0)=0222。nn+1∴an1=n1222。1232。+3+L+345n+1n+2246。248。343180。1++L+11246。2n+2242。N*； an{}（2）解關于數列n的不等式：an+1(sn+1+sn)4n8（3）記bn=2sn,Tn=331111Tn+++L+，證明：1 2b1b2b3bn{an}滿足：237。2)。a+ca+b12+1+?+1n＜2n。n+12+1(x)=+x2，求證：當a185。，b∈R，“因式”；a+b1+a+b163。3n+12n1n4．放縮后為裂項相消，再求和例已知an=n，求證：∑k=1akk＜3．