不等式的證明方法5篇(專業版)

　　

【正文】 故(a+2)+(b+2)179。證法六：(均值換元法)∵a+b=1，所以可設a=12+t，b=t，1∴左邊＝(a+2)+(b+2)=(+t+2)2+(t+2)25246。2125179。b=1a239。、小結證明不等式的途徑是對原不等式作代數變形,在初等數學中常用的第11頁（共13頁）1a1b1c數學系數學與應用數學專業2009級年論文(設計)方法大致有放縮法、代換法、歸納法、,僅在中學教科書上就有很多方法,但還不足以充分開拓人們的思維,為此,我們要進一步探究不等式的證明方法,[1] [J].教學月刊(中學版),2007(6).[2] [J].襄樊職業技術學院學報,2007(4).[3] [J].中國科教創新導刊,2007(26).[4] 郭煜,張帆不等式證明的常見方法[J].高等函授學報(自然科學版),2007(4).[5] [J].數學愛好者(高二版),2007(7).[6] [J].張家口職業技術學院學報,2007(1).[7] [J].中國科技信息,2007(18).[8] 劉玉璉,[M].北京:高等教育出版第12頁（共13頁）數學系數學與應用數學專業2009級年論文(設計)社,1988,P201211.[9] [J].承德民族師專學報,2006(2).[10] [J].數學教學研究,1995(2).第13頁（共13頁）第五篇：不等式的證明方法幾個簡單的證明方法一、比較法：ab等價于ab0；而ab0等價于ab，關鍵是要作適當的變形，如因式分解、拆項、加減項、通分等，、綜合法與分析法：綜合法是由因導果，即是由已知條件和已知的不等式出發，推導出所要證明的不等式；分析法是執果索因，即是要逐步找出使結論成立的充分條件或者充要條件，：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各種不等式；第二，要善于利用題中的隱含條件；第三，、反證法：，從原不等式的結論的反面出發，通過合理的邏輯推理導出矛盾，、放縮法：要證ab，又已知(或易證)ac，則只要證cb，這是利用不等式的傳遞性，將原不等式里的某些項適當的放大或縮小，： ①添加或舍去一些項，如：a2+1a；n(n+1)n；②將分子或分母放大（或縮小）；③利用基本不等式，如：log3lg5（n(n+1)lg3+lg522)2=lglg=lg4； n+(n+1)；④利用常用結論：k+1k=1k+1+=1k11k1k12k1k；1k(k+1)1k+11k1k+11k1k(k1)1k；=（程度大）1k1=(k1)(k+1)=2k1（)；（程度小）五、換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，：已知x2+y2=a2，可設x=acosq,y=asinq；已知x2+y2163。180。條件,即有，0(1a)a≤.24232。165。9第5頁（共13頁）1a1b1c數學系數學與應用數學專業2009級年論文(設計)分析 證法較多,但由a+b+c=1與++之間的聯系,：由算術平均數和調和平均的關系可知a+b+c3 179。2x3+x2分析 用相減比較法證明AB[f(x)]（f(x)g(x)，其中f(x),g(x)同號）,或變形為多個因子的[f(x)]2+[g(x)]乘積、： Q2x42x3x2+1=2x3(x1)(x1)(x+1)=(x1)(2x3x1)=(x1)(2x32x+x1)13=2(x1)2[(x+)2+]442x42x3x2+1179。1構造函數法例11：證明不等式：x12x ＜x2（x≠0）證明：設f（x）=x12xx2（x≠0）∵f(x)=x12x+x2x2x2x1+x2=x12x［1(12x)］+x2=x12xx+x2=f（x）∴f（x）的圖像表示y軸對稱∵當x＞0時，12x＜0，故f（x）＜0∴當x＜0時，據圖像的對稱性知f（x）＜0∴當x≠0時，恒有f（x）＜0 即x12x＜x2（x≠0）練習9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：bb2ab＜a＜b+b2ab2構造圖形法例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）f（b）|＜ |ab|分析：由1+x2 的結構可知這是直角坐標平面上兩點A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(10)2+(x0)2于是如下圖，設A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2|AB|=|ab|又0A||0B＜|AB|∴|f(a)f(b)|＜|ab|練習10：設a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(ac)+c(bc)≤ab10添項法某些不等式的證明若能優先考慮“添項”技巧，能得到快速求解的效果。證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2練習5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜16換元法換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。(x)=lnx+1,f162。sinx248。n+2230。i=1248。229。229。1（3）a2b22211下面證不等式(3),有均值不等式，a1b1A2+B2A2B2163。[3(11a+1b+1c)]3或 3(1+11ab+1c)163。g162。R，求證：4163。2故 b(x2y2)+2axy163。=2+32+43+L+12n+1n13n180。230。1+a2，故yax163。3at247。證明 設a=13t，b=13at(t206。9999100001212180。a，這與已知矛盾，所以na把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質， 已知：a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=1，求證: a1b1+a2b2+L+anbn163。第一篇：不等式的證明方法中原工學院 常用方法（作差法）[1]在比較兩個實數a和b的大小時，：作差——變形——判斷（正號、負號、零）.變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、 已知：a0，b0，求證：證明 a+b2a+b2179。[4]證明 因為a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=1，所以 a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=a1b1+a2b2+L+anbn163。32241180。R)，則c=13+(1+a)t，230。+231。232。1+[8]形如f(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn的函數，其中0xi163。1246。1nn2180。[11]：設a1163。cos2x+3sinx163。(x),(x206。3abc(a0,b0,c0).中原工學院 利用著名不等式證明[1516]設a1,a2,L,an是n個正實數，則a1+a2+L+an179。2，2即2a1b1a21AB163。ai247。ai180。232。a230。2n+2(sinx)22nn+22230。162。(1)三角換元：是一種常用的換元方法，在解代數問題時，使用適當的三角函數進行換元，把代數問題轉化成三角問題，充分利用三角函數的性質去解決問題。1倍數添項若不等式中含有奇數項的和，可通過對不等式乘以2變成偶數項的和，然后分組利用已知不等式進行放縮。0\當x206。1113++abc1a1b1c所以 a+b+c179。g(x)x174。248。188。1，可設x=rcosq,y=rsinq(0163。220。2234。5246。252.252.下面，：設A179。0，即y179。2248。(a+2)+(b+2)249。252236。a2+ab+b2=a+b, 于是(a+b)2 a2+ab+b2=a+b,則(a+b)1,又(a+b)24ab，(a+b)2 而(a+b)=a+2ab+b=a+b+aba+b+422243即(a+b)2a+b,所以（a+b), 綜上所述, 1a+b（6）向量法向量這部分知識由于獨有的形與數兼備的特點,使得向量成了數形結合的橋梁,若借助向量的數量積的性質, 求證：求證1≤ 1x2x≤2++179。,因此AB，23452n2n+113242n1242n2n1)(180。247。（共13頁）數學系數學與應用數學專業2009級年論文(設計)(1+11112)(1+)=1+++（9）利用極限證明不等式[2]證明：當x2(1+2)時,有(2x1)+2(2x3)+3(2x5)+....+xx3證： 在x0的情況下討論,令f(x)=(2x1)+(2x3)+3(2x5)+....+x,g(x)=x3則 f(x)=x(x+1)(2x+1)，6x(x+1)(2x+1)f(x)16于是 lim =lim=x174。a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.②若a,b同號,則+≥2；若a,b,c均為正數,則++≥+b2a+b2 ③若是正數,則≥≥ab≥（當且僅當a=b時等號1122+abbaabbacbac成立）a2+b2+c2a+b+c3 若a,b,c是正數,則≥3abc≥11133++abc（當且僅當a=b=c時等號成立） 若a,b,c0,且a+b+c