不等式的證明方法（5篇）(文件)

　

【正文】 nC≤332練習11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤184利用均值不等式等號成立的條件添項例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時，等號成立證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①同理b4+3(12)4 ≥b②∴a4+b4≥12(a+b)6(12)4=126(12)4=18③∵a≠b ∴①②中等號不成立∴③中等號不成立∴ 原不等式成立1．是否存在常數c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對任意正數x,y恒成立？ 錯解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。正解：應用比較法：yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnyn① 當x0,y0時，(xnyn)(xn1yn1)≥ 0，(xy)n 0所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn≥0故：yn1xn+xn1yn≥ 1x1y② 當x,y有一個是負值時，不妨設x0,y0，所以x|y|又n為偶數時,所以(xnyn)(xn1yn1)0 又(xy)n 0，所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn ≥0即 yn1xn+xn1yn≥ 1x1y綜合①②知原不等式成立第三篇：不等式證明若干方法安康學院 數統系數學與應用數學 專業 11 級本科生論文（設計）選題實習報告11級數學與應用數學專業《科研訓練2》評分表注：綜合評分179。此方法靈活性大,需反復練習.（3）分析法：當綜合法較困難或行不通時,可考慮此法,（共13頁）AB數學系數學與應用數學專業2009級年論文(設計)（4）數學歸納法：凡與自然數n有關的不等式,可考慮此法,但有時使用起來比較困難,探求解題途徑 求證 1+2x4179。2x3+x2 證明 n(n+1)n+1+++....+(n1).分析 題中含n,但此題用數學歸納法不易證明,++188。b時，（a+）(b+)≥.故可設a=+xab2411b= x,(|x|且x185。an≤a1+a2+188。a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.②若a,b同號,則+≥2；若a,b,c均為正數,則++≥+b2a+b2 ③若是正數,則≥≥ab≥（當且僅當a=b時等號1122+abbaabbacbac成立）a2+b2+c2a+b+c3 若a,b,c是正數,則≥3abc≥11133++abc（當且僅當a=b=c時等號成立） 若a,b,c0,且a+b+c=1,求證 ++179。1111111++++abcabc1a1b1c即 ++179。=422即 4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。2abc2222b(c+a)179。（共13頁）數學系數學與應用數學專業2009級年論文(設計)(1+11112)(1+)=1+++（9）利用極限證明不等式[2]證明：當x2(1+2)時,有(2x1)+2(2x3)+3(2x5)+....+xx3證： 在x0的情況下討論,令f(x)=(2x1)+(2x3)+3(2x5)+....+x,g(x)=x3則 f(x)=x(x+1)(2x+1)，6x(x+1)(2x+1)f(x)16于是 lim =lim=x174。3x3按極限的定義,對于e=,取d=2(1+2)當|x|d=2(1+2)有f(x)11e= , g(x)3414即 0f(x)71 從而f(x)g(x),(x)12（10）利用平分法證明不等式 若x0,i=1,2,3,且229。x1ii22331+xi1+xi10111927++163。21=2[4]設a,b,c206。247。180。180。180。,因此AB，23452n2n+113242n1242n2n1)(180。)=222。180。180。a2+ab+b2=a+b, 于是(a+b)2 a2+ab+b2=a+b,則(a+b)1,又(a+b)24ab，(a+b)2 而(a+b)=a+2ab+b=a+b+aba+b+422243即(a+b)2a+b,所以（a+b), 綜上所述, 1a+b（6）向量法向量這部分知識由于獨有的形與數兼備的特點,使得向量成了數形結合的橋梁,若借助向量的數量積的性質, 求證：求證1≤ 1x2x≤2++179。1)； 已知xaxa2+ybyb=1，可設x=acosq,y=bsinq；已知=1，可設x=asecq,y=btanq；六、數學歸納法法：與自然數n有關的許多不等式，可考慮用數學歸納法證明，：第一，：設P(n)是與n有關的命題，則(1)、設P(n0)成立，且對于任意的kn0，從P(k)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對所有大于n0的n都成立.(2)、設m是任給的自然數，若P(1)成立，且從P(k)(1163。k=11ksinkx0,(0xp)就要綜合運用數學歸納法，反證法與極值法；有時可將n換成連續量x，、構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式；證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據題設、題斷的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點．、利用基本不等式：善于利用已知不等式，特別是基本不等式去發現和證明新的不等式，例1 已知a，b206。0=a+(1a)+4=2a2a+即(a+2)2+(b+2)2179。252236。225122220。22238。a247。(a+2)+(b+2)249。249。222235。a+b179。2248。230。t247。22232。0，即y179。0，則(A+B)n179。An+nA(n1)Bni=0\(A+B)179。N+.證明：由二項式定理可知n(A+B)=229。252.252.下面，：設A179。當且僅當t=0時，：形如a+b=1結構式的條件，：(利用一元二次方程根的判別式法)設y=(a+2)+(b+2)，由a+b=1，有y=(a+2)2+(3a)2=2a22a+13，所以2a22a+13y=0，因為a206。2248。t+247。5246。247。＝右：根據不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用基本不等式230。235。2234。.所以(a+2)+(b+2)179。230。0239。220。252220。252.證法一：(比較法)Qa,b206。n163。1，可設x=rcosq,y=rsinq(0163。R，x+1當y185。180。180。188。180。180。180。248。1但由01a)a≤230。3= 222101+x11+x21+x310故（1）換元法這種方法多用于條件不等式的證明,換元法主要有三角代換和均值代第8頁（共13頁）數學系數學與應用數學專業2009級年論文(設計) 已知x2+y2163。 2221+x11+x21+x310 證：因為12111911x=時有163。g(x)x174。Qa,b,c不全相等,所以上述三式中,得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc（注：這里把不等式的各項分別考慮,然后利用不等式的性質和推論,證得所求不等式.） 設a是銳角,求證：(1+11)(1+) 證： Qa是銳角,\0sina1,0cosa1,0sin2a163。0（8）分解為幾個不等式的和或積[2] 已知a,b,c是不全相等的正數,求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc證： Qb2+c2179。6證：由4a+19163。1113++abc1a1b1c所以 a+b+c179。+ann22an（注：這一串不等式在不等式證明中起著舉足輕重的作用.） 已知ab,求證a+證：a+1≥3(ab)b111=(ab)+b +≥33(ab)b=3(ab)b(ab)b(ab)b（4）充分利用一些重要結論,使解題簡捷①對實數a,b,c,d有a2+b2≥2ab=ab+ba。an都是正實數,則：111aa+12+188。+（1+)23n=2n nn34n+12+++188。0\當x206。證明。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因為x,y是正數，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。2ac)=3abc當且僅當a=b，b=c，c=a即a=b=c時，等號成立。1倍數添項若不等式中含有奇數項的和，可通過對不等式乘以2變成偶數項的和，然后分組利用已知不等式進行放縮。(1+12k+1)①要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+12例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2分析：本題已知為p、q的三次，而結論中只有一次，應考慮到用術立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。s2m2θ+cos2θcosθ(1)三角換元：是一種常用的換元方法，在解代數問題時，使用適當的三角函數進行換元，把代數問題轉化成三角問題，充分利用三角函數的性質去解決問題。例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：cc2ab＜a＜c+c2ab分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據觀察求證式等價于 ｜ac｜＜c2ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。基本思想是把難于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。163。162。248。231。n232。2n+2(sinx)22nn+22230。231。sinxcosx248。247。a230。248。231。1n2ia229。232。232。1247。229。ai180。229。n2246。n246