放縮法(不等式、數列綜合應用)(專業版)

　　

【正文】 ，b∈R，“因式”；a+b1+a+b163。a+ca+b12+1+?+1n＜2n。N*； an{}（2）解關于數列n的不等式：an+1(sn+1+sn)4n8（3）記bn=2sn,Tn=331111Tn+++L+，證明：1 2b1b2b3bn{an}滿足：237。1++L+11246。248。1232。f(0)=0222。（3）120061a1+1a2+L+1a20061。N)234。所以：229。間插入錯誤！未找到引用源。成等比數列，求實數錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。都是公差為錯誤！未找到引用源。對任意錯誤！未找到引用源。再將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。．（3）當錯誤！未找到引用源。； 當錯誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數、n是偶數兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數的形式。、錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。為偶數時，②式成立，即當錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。記數列錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。.（1）當錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。為等比數列，求錯誤！未找到引用源。即可猜想該等比數列的首項為錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。其中n∈N*．（1）若數列{an}是公差為2的等差數列，求數列{}的通項公式；（2）若存在實數λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤，求證：數列{an}是等差數列．10．已知各項不為零的數列錯誤！未找到引用源。；（2）若錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。為等比數列，并求其通項錯誤！未找到引用源。、規律歸納: 常見的放縮變形：（1）錯誤！未找到引用源。項和，且對任意錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。的指數類函數）③ 錯位相減：通項公式為“等差錯誤！未找到引用源。固定一部分項，放縮另外的項；例求證：11117+++L+ 122232n24證明：Q1=n2n(n1)n1n\1111111115117+++L+1++(+L+)=+().122232n22223n1n42n4此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）k例已知an=n，求證：∑＜3．k=1akn證明：∑k=1nn2ak∑k=1n＜1＋∑k=2n(k－1)k(k＋1)=1+k=2n＜１＋∑k=2(k－1)(k＋1)（k＋1 ＋k－1)=1＋ ∑（k=2n－)(k－1)(k＋1)=1＋1＋＜2＋＜3．(n＋1)22本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，、放大或縮小“因式”；n1例已知數列{an}滿足an+1=a,0a1163。第一篇：放縮法(不等式、數列綜合應用)“放縮法”證明不等式的基本策略近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，而不等式的證明是高中數學中的一個難點，它可以考察學生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。,求證：229。利用基本不等式放縮例已知an=5n41對任何正整數m，n都成立.1，只要證5amn1+aman+.因為 amn=5mn4，aman=(5m4)(5n4)=25mn20(m+n)+16，故只要證5(5mn4)1+25mn20(m+n)+16+ 即只要證20m+20n37因為am+an=5m+5n85m+5n8+(15m+15n29)=20m+20n37，再利用基本不等式由am+、先適當組合, 排序, 再逐項比較或放縮 例.已知i，m、n是正整數，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)＞(1+n)iinm證明：(1)對于1＜i≤m，且Aim =m等比”的形式④ 裂項相消：通項公式可拆成兩個相鄰項的差，且原數列的每一項裂項之后正負能夠相消，進而在求和后式子中僅剩有限項（2）與求和相關的不等式的放縮技巧：① 在數列中，“求和看通項”，所以在放縮的過程中通常從數列的通項公式入手② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項公式是放大還是縮小（應與所證的不等號同方向）③ 在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數列的通項公式靠攏，常見的是向等比數列與可裂項相消的數列進行靠攏。項和錯誤！未找到引用源。的取值范圍．！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。；（2）求錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。．（1）求數列錯誤！未找到引用源。為常數．（1）是否存在數列錯誤！未找到引用源。求錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。的最大值．放縮法證明數列不等式基礎知識回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數列求和方法和通項公式特點：① 等差數列求和公式：錯誤！未找到引用源。公比為錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.現設錯誤！未找到引用源。.于是當錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。時，①求數列錯誤！未找到引用源。為首項，錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。所以只要錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。的取值范圍；⑶ 設數列錯誤！未找到引用源。故實數錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。的通項公式；（2）是否存在自然數錯誤！未找到引用源。試題解析：（1）由錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。時，求證：當錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。同理可得錯誤！未找到引用源。即可獲證錯誤！未找到引用源。均有錯誤！未找到引用源。的等差數列，所以錯誤！未找到引用源。即數列錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。個正數，組成公比為錯誤！未找到引用源。i=1Ti=313230。解：（1）用數學歸納法易證。ln(1+x)163。20，則1246。n+2246。230。n+2236。n(n+1)(n+1)=180。a1+a+b1+b。根據題目特征，通過構造特殊的單調函數，利用其單調性質進行放縮求解。∈N*，求1+a＋b＋c＜2。N)=的最小值為，最大值為，且abnnn2x+1（1）求；（2）證明：：161+{an}的前n項的和為sn，且an+2（1）求證：數列sn是等差數列； 11117+++L+ 444c14c2c34+L+17 1=2sn，n206。ln(n+2)ln2 n+1248。234nn+1232。又∵x0時，有xln(1+x)，令x=1n+1230。(0)=0，即x=0是極大值點，也是最大值點f(x)=ln(1+x)x163。N，有an+1=anan1La2a1+1成立。2,k206。2121248。與錯誤！未找到引用源。．（1）若錯誤！未找到引用源。為減函數，錯誤！未找到引用源。則錯誤！未找到引用源。是等差數列.（2）因為的任意的錯誤！未找到引用源。是等差數列；（2）若 錯誤！未找到引用源。同理可得錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。可求得錯誤！未找到引用源。．（1）求數列錯誤！未找到引用源。當錯誤！未找到引用源。為正偶數恒成立，錯誤！未找到引用源。為偶數時，錯誤！未找到引用源。所以當錯誤！未找到引用源。成立，因為錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。時，數列錯誤！未找到引用源。為實數，且錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。中最大項必在A中，由（2）得錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。而錯誤！未找到引用源。若數列錯誤！未找到引用源。例如常數錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。(n＋2)＝錯誤！未找到引用源。并說明理由；（2）求證： 錯誤！未找到引用源。且滿足錯誤！未找到引用源。數列錯誤！未找到引用源。若當錯誤！未找到引用源。（1）求證：數列錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。（1）求數列的通項公式；錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。另一側為求和的結果，進而完成證明 應用舉例:類型一：與前n項和相關的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學高三摸底考試】已知數列錯誤！未找到引用源。（關于錯誤！未找到引用源。4+L+n(n+1)求證： 22122n+12證明：∵ n(n+1)n=nn(n+1)(n+)=2n+1∴ nn(n+1)1+3+L+(2n+1)n(n+1)(n+1)2an∴ 1+2+3+L+nan，∴2222n+1本題利用n，對an中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數列，達到化簡的目的。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關系的樸素思想和基本出發點, 有極大的遷移性, 對它的運用往往能體現出創造性。(akak+1)ak+2.232k=1n證明 Q0a1163。…④ 若放縮后求和發現放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調：看能否讓數列中的一些項不動，其余項放縮。滿足：錯誤！未找到引用源。.對數列錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數，若，求證：；錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。注：對于錯誤！未找到引用源。；（3）問是否存在正整數錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。．記等差數列錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。即通項公式為錯誤！未找到引用源。數列錯誤！未找到引用源