高一數學立體幾何基礎題題庫(留存版)

　　

【正文】 1B1=900即B1C1⊥C1A1又由CC1⊥平面A1B1C1得：CC1⊥B1C1∴ B1C1⊥平面AA1C1C∴ AC1為AB1在平面AA1C1C的射影由三垂線定理，下證AC1⊥A1M即可在矩形AA1C1C中，AC=A1C1=，AA1=CC1=∵ ，∴ ∴ Rt△A1C1M∽Rt△AA1C1∴ ∠1=∠2又∠2+∠3=900∴ ∠1+∠3=900∴ AC1⊥A1M∴ AB1⊥A1M評注：利用三垂線定理的關鍵是找到基本面后找平面的垂線396. 正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a，在側棱BB1上截取BD=，在側棱CC1上截取CE=a，過A、D、E作棱柱的截面ADE （1）求△ADE的面積；（2）求證：平面ADE⊥平面ACC1A1。, 即PB與平面BCD所成角為45176。∴A1O⊥OM，∵OM∩DB＝O，∴A1O⊥平面MBD．370. 點P在線段AB上，且AP∶PB＝１∶２，若A，B到平面α的距離分別為a，b，求點P到平面α的距離．解析：（１）A，B在平面α的同側時，P平面α的距離為；（２）A，B在平面α的異側時，P平面α的距離為．點評　一是畫圖時，只要畫出如右上圖的平面圖形即可，無需畫出空間圖形；二是對第（２）種情形，若以平面為“水平面”，在其上方的點高度為正，在其下方的點高度為負，則第（２）種情形的結論，就是將（１）結論中的b改為(－b)，而無需再畫另一圖形加以求解．371. 若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面 （　）（Ａ）有且只有一個 （Ｂ）可能存在也可能不存在（Ｃ）有無數多個 （Ｄ）一定不存在（Ｂ）解析：若存在，則a⊥b，而由條件知，a不一定與b垂直．372. 在正方體ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，若E是A1C1的中點，則直線CE垂直于 （　）（Ａ）AC 　（Ｂ）BD 　（Ｃ）A1D 　（Ｄ）A1D1解析：（Ｂ）BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥CE．373. 定點P不在△ABC所在平面內，過P作平面α，使△ABC的三個頂點到α的距離相等，這樣的平面共有 （　）（Ａ）１個 （Ｂ）２個 （Ｃ）３個 （Ｄ）４個解析：D過P作一個與AB，AC都平行的平面，則它符合要求；設邊AB，BC，CA的中點分別為E，F，G，則平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求374. P為矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三點的距離分別是，則P到A點的距離是 （　）（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ） （Ｄ）４　解析：（A）設AB＝a，BC＝b，PA＝h，則a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,∴h=1．375. 線段AB的兩個端點A，B到平面α的距離分別為6cm, 9cm, P在線段AB上，AP：PB＝１：２，則P到平面α的距離為　　　　　　．解析：７cm或１cm．分A，B在平面α的同側與異側兩種情況．同側時，P到平面α的距離為＝７（cm），異側時，P到平面α的距離為＝１（cm）．376. △ABC的三個頂點A，B，C到平面α的距離分別為2cm, 3cm, 4cm , 且它們在α的同一側，則△ABC的重心到平面α的距離為　　　 ．解析：3cm ．＝3cm ．377. Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，AC＝６，BC＝８，EC⊥平面ABC，且EC＝１２，則ED＝　　　　　．解析：１３．AB＝１０，∴CD＝５，則ED＝＝１３．378. 如圖，在正方體ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，求：（１）A1B與平面A1B1CD所成的角；（２）B1B在平面A1C1B所成角的正切值．解析：　求線面成角，一定要找準斜線在平面內的射影．（１）先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD內的射影，即從B向平面A1B1CD作垂線，一定要證明它是平面A1B1CD的垂線．這里可證BC1⊥平面A1B1CD，O為垂足，∴A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影．（２）若將平面D1D1BB豎直放置在正前方，則A1C1橫放在正前方，估計B1B在平面A1C1B內的射影應落在O1B上，這是因為A1C1⊥平面D1DBB1，∴故作B1H⊥O1B交于H時，BH1⊥A1C1，即H為B1在平面A1C1B內的射影．另在求此角大小時，只要求∠B1BO1即可．解析：（１）如圖，連結BC1，交B1C于O，連A1O．　∵A1B1⊥平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1．又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1CD，O為垂足，∴A1O為A1B在平面A1B1CD上的射影，則∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．sin∠BA1O＝，∴∠BA1O＝３０176。=.363. 湖結冰時，一個球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一個直徑為24cm,深為8cm的空穴，求該球的半徑.解析：設球的半徑為R，依題意知截面圓的半徑r＝12,球心與截面的距離為d＝R8，由截面性質得：r2+d2＝R2,即122+(R8)2＝R2.得R＝13 ∴該球半徑為13cm.364. 在有陽光時，一根長為3米的旗軒垂直于水平地面，它的影長為米，同時將一個半徑為3米的球放在這塊水平地面上，如圖所示，求球的陰影部分的面積(結果用無理數表示).解析：由題意知，光線與地面成60176。∴PA＝AD，由△PAM≌△CBM得PM＝CM，∵N為PC中點，∴MN⊥PC．又MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD．388. 如圖，在四棱錐P—ABCD中，側面PCD是邊長等于2cm的等邊三角形，底面ABCD是面積為2cm2的菱形，∠ADC是銳角. 求證：PA⊥CD證明：設∠ADC=θ，則：由SABCD=2, CD=BC=AB=AD=2，易得θ=60176。 （3）連結HC，由（2）知C1H平面ABC， ∴∠C1CH就是側棱CC1與底面所成的角， ∴∠C1CH=60176。的角，于是AB＝＝≥.∴當θ＝45176。CF＝a.∴FH＝CF＝a.(3)取BE的中點G，連接FG、AG由(1)的結論，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD，∴AF⊥平面BDC.∵BF＝EF＝，∴FG⊥BE，由三垂線定理得，AG⊥BE，∴∠FGA為二面角D—BE—A的平面角.FG＝＝a,AF＝a.∴tg∠FGA＝＝,∠FAG＝arctg即二面角A—BE—D的大小為arctg409. 若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直線AABBCC1相交于一點O，求證：(1)AB和A1BBC和B1CAC和A1C1分別在同一平面內；(2)如果AB和A1BBC和B1CAC和A1C1分別相交，那么交點在同一直線上(如圖).(1)證明：∵AA1∩BB1＝O,∴AABB1確定平面BAO，∵A、AB、B1都在平面ABO內，∴AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可證，BC和B1CAC和A1C1分別在同一平面內.(2)分析：欲證兩直線的交點在一條直線上，可根據公理2，證明這兩條直線分別在兩個相交平面內，那么，它們的交點就在這兩個平面的交線上.證明：如圖，設AB∩A1B1＝P；AC∩A1C1＝R；∴ 面ABC∩面A1B1C1＝PR.∵ BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且 BC∩B1C1＝Q ∴ Q∈PR,即 P、R、Q在同一直線上.410. 點P、Q、R分別在三棱錐ABCD的三條側棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝：X、Y、Z三點共線.解析： 證明點共線的基本方法是利用公理2，證明這些點是兩個平面的公共點.證明 ∵P、Q、R三點不共線，∴P、Q、R三點可以確定一個平面α.∵ X∈PQ，PQα，∴X∈α，又X∈BC，BC面BCD，∴X∈平面BCD.∴ ，點Y、Z都是這兩個平面的公共點，即點X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交線上.411. 直線m、n分別和平行直線a、b、c都相交，交點為A、B、C、D、E、F，如圖，求證：直線a、b、c、m、n共面.解析： 證明若干條直線共面的方法有兩類：一是先確定一個平面，證明其余的直線在這個平面里；二是分別確定幾個平面，然后證明這些平面重合.證明 ∵a∥b,∴過a、b可以確定一個平面α.∵A∈a,aα，∴A∈α,同理B∈a.又∵A∈m，B∈m,∴.∵b∥c,∴過b,c可以確定平面β，同理可證mβ.∵平面α、β都經過相交直線b、m,∴平面α和平面β重合，即直線a、b、c、m、n共面.412. 證明兩兩相交而不共點的四條直線在同一平面內.已知：如圖，直線l1，l2，l3，l4兩兩相交，且不共點.求證：直線l1，l2，l3，l4在同一平面內解析：，然后證其它直線也在α內.證明：圖①中，l1∩l2＝P，∴ l1,l2確定平面α.又 l1∩l3＝A,l2∩l3＝C, ∴ C,A∈α.故 l3α.同理 l4α.∴ l1,l2,l3,l4共面.圖②中，l1,l2,l3,l4的位置關系，同理可證l1,l2,l3,l4共面.所以結論成立.413. 證明推論3成立.（如圖）已知：a∥b，求證：經過a,b的平面有且只有一個.證明：(存在性)∵a∥b，由平行線的定義知：a、b共面，所以經過a、b的平面有一個.(唯一性)，在a上取兩點A、B，在b上取一點C.∵a∥b,∴A、B、C三點不共線，由公理3知過A、B、C三點的平面只有一個，從而過a,b兩直線的平面也是惟一的.，它和這個平面有幾個公共點?為什么?解析：只有一個，假設有兩個公共點，由公理1知該直線上所有點都在這個平面內，這和直線過平面外一點矛盾.，證明：這三條直線在同一平面內.解答：已知：Aa，如圖，B、C、D∈a，證明：AB、AC、AD共面.證明：∵Aa，∴A，a確定平面α，∵B、C、D∈a，aα.∴B、C、D∈α又A∈α.∴AB、AC、ADα.即AB、AC、AD共面.416. 空間可以確定一個平面的條件是( ) 解析： 由推論2和推論3知兩條相交直線或者兩條平行直線才確定一個平面，由推論1知點必在線外才合適，D中三個點不一定不共線，知選C.417. 下列命題正確的是( )，則兩個平面一定是重合平面、β有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線解析：根據公理公理3知選D.418. 已知四點，無三點共線，則可以確定( ) 解析： 因為無三點共線，所以任意三個點都可以確定平面α，若第四個點也在α內，四個點確定一個平面，當第四個點在α外，.419. 已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8