高一數學立體幾何基礎題題庫(存儲版)

　　

【正文】 D是∠ACB的平分線時，AB有最小值，最小值為.，求證：它們所成的角與二面角的平面角互補.已知：從二面角α—AB—β內一點P，向面α和β分別引垂線PC和PD，：∠CPD和二面角的平面角互補.證：設過PC和PD的平面PCD與棱AB交于點E，∵PC⊥α，PD⊥β∴PC⊥AB，PD⊥AB∴CE⊥AB，DE⊥AB又∵CEα，DEβ，∴∠CED是二面角α—AB—β的平面角.在四邊形PCED內：∠C＝90176。解析：三棱錐P—OBC的側面由△POB、△POC、△PBC三個三角形組成在求出邊長元素后，求三角形面積時，應注意分析三角形的形狀，簡化計算∵ PA⊥平面ABC∴ PA⊥AO，AC為PC在平面ABC上的射影∵ BC⊥AC∴ BC⊥PC△ POB中，△ PBC中，BC=ABsin600=2a∴ AC=a∴ PC=∴ △ POC中，PO=PC=，OC=a∴ ∴ S側=399. 四棱錐V—ABCD底面是邊長為4的菱形，∠BAD=1200，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC與BD交于O，（1）求點V到CD的距離；（2）求點V到BD的距離；（3）作OF⊥VC，垂足為F，證明OF是BD與VC的公垂線段；（4）求異面直線BD與VC間的距離。C1H=CH解析：如圖，正四棱錐P—ABCD的一個對角面△PAC。∴△ACD是等邊三角形，取CD中點E連AE、PE，則AE⊥CD，PE⊥CDAE⊥CD，PE⊥CD ∴CD⊥平面PAE ∴CD⊥PA389. 設P點在正三角形ABC所在平面外，且AP，BP，CP兩兩垂直；又是的重心；為上一點，；為上一點，；，如圖(1)求證：GF⊥平面PBC；(2)求證：EF⊥BC。 ∵PH⊥平面ABC，∴HM為PM在平面ABC上的射影，則∠PMH為PM與平面ABC所成的角，∴tan∠PMH＝380. 如圖，在正四面體ABCD中。角，設球的陰影部分面積為S，垂直于光線的大圓面積為S′，則Scos30176。從而ΔS′VA為等邊三角形，同理ΔS′VD也是等邊三角形，從而ΔS′AD也是等邊三角形，得到以ΔVAD為底，以S′與S重合.這表明ΔVAB與ΔVSA共面，ΔVCD與ΔVSD共面，故共有5個暴露面.362. 若四面體各棱長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是 .(只須寫出一個可能的值)解析： ，實際上主要考查由所給條件構造一個四面體的能力，首先得考慮每個面的三條棱是如何構成的.排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由這三類面在空間構造滿足條件的一個四面體，再求其體積.由平時所見的題目，至少可構造出二類滿足條件的四面體，五條邊為2，另一邊為1，對棱相等的四面體.對于五條邊為2，另一邊為1的四面體，參看圖1所示，設AD=1，取AD的中點為M，平面BCM把三棱錐分成兩個三棱錐，由對稱性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以VABCD=SΔBCM369. 如圖，在正方體ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M為棱CＣ1的中點，AC交BD于點O，求證：A1O⊥平面MBD．解析：要證A1O⊥平面MBD，只要在平面MBD內找到兩條相交直線與A1O都垂直，首先想到DB，先觀察 A1O垂直DB嗎？方法１：發現A1O平分DB，想到什么？（△A1DB是否為等腰三角形）∵A1D＝A1B，DO＝OB，∴A1O⊥DB．方法２：A1O⊥DB嗎？即DB⊥A1O嗎？DB垂直包含A1O的平面嗎？（易見DB⊥平面A1ACC1）再觀察A1O垂直何直線？DM？BM？因這兩條直線與A1O均異面，故難以直接觀察，平面MDB中還有何直線？易想到MO，因MO與A1O相交，它們在同一平面內，這是一個平幾問題，可畫出平幾圖進行觀察．證明　取CC1中點M，連結MO，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB．在矩形A1ACC1中，∵tan∠AA1O=，tan∠MOC=，∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA＋∠MOC＝９０176。）；另一種重要的思想是：因PC在平面PAC中，而所作BH為平面PAC的斜線，故關鍵在于找出B在平面PAC內的射影，因平面PAC處于“豎直狀態”，則只要從B作“水平”的垂線，可見也只要從B向AC作垂線便可得其射影．證明　（１）取AD的中點E，連AC，CE，則ABCE是正方形，△CED為等腰直角三角形．∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴AC為PC在平面ABCD上的射影，∴PC⊥CD；解　（２）連BE交AC于O，則BE⊥AC，又BE⊥PA，AC∩PA＝A，∴BE⊥平面PAC．過O作OH⊥PC于H，連BH，則BH⊥PC．∵PA＝a，AC＝，∴PC＝，則OH＝，∵BO＝，∴BH＝383. 四面體ABCD的四個面中，是直角三角形的面至多有 （ ）（Ａ）１個 （Ｂ）２個（Ｃ）３個 （Ｄ）４個解析：（D）設底面為直角三角形，從底面的一個銳角頂點作平面的垂線，則這樣的四面體的每個面都是直角三角形．384. 直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內，直角頂點C在平面α外，C在平面α內的射影為C1，且C1AB，則△C1AB為 　（ ）（Ａ）銳角三角形 （Ｂ）直角三角形（Ｃ）鈍角三角形 （Ｄ）以上都不對解析：（C）∵C1A2+C1B2CA2+CB2 ＝AB, ∴∠AC1B為鈍角，則△C1AB為鈍角三角形．385. △ABC在平面α內，∠C＝90176。390. 已知α∩β=C，a∥b,aα,bβ,Aa,AE⊥b于E，AF⊥c于F，求證：a⊥EF解析：b∥a,b,aα, ∴b∥α又bβ，α∩β=c ∴b∥c, 又AF⊥c ∴AF⊥b 又AE⊥b, AE∩AF=A ∴b⊥平面AEF a∥b ∴a⊥平面AEFEF平面AEF ∴a⊥EF391. 如圖，△ABC為銳角三角形，PA⊥平面ABC，A點在平面PBC上的射影為H，求：H不可能是△PBC的垂心．解析：連結CH，則CH是AC在平面PBC內的射影，若H為垂心，則CH⊥PB，由三垂線定理得AC⊥PB，又PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，∴AC⊥平面PAB，從而AC⊥AB與△ABC為銳角三角形矛盾，故H不可能是垂心．392. 如圖，BCD是等腰直角三角形，斜邊CD的長等于點P到BC的距離，D是P在平面BCD上的射影．（1）求PB與平面BCD所成角；（2）求BP與平面PCD所成的角解析：（1）PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD內的射影，∴∠PBD為PB與平面BCD所成角,BD⊥BC,由三垂線定理得BC⊥BD，∴BP=CD，設BC=a，則BD=a，BP=CD=a∴在Rt△BPD中，cos∠DBP= ∴∠DBP=45176。 在Rt△POE中，sin∠PEO=， ∴∠PEO=，即側面與底面所成的角為.394. 如右圖，斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1⊥BC1，AB⊥AC，AB=3，AC=2，側棱與底面成60176。395. 已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=900，∠BAC=300，BC=1，AA1=，M為CC1中點，求證：AB1⊥A1M。400. 斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A1到A、B、C三點的距離都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的側面積。sin∠AFB.在RtΔAFC中，AC＝AF角.407. 如圖，在三棱柱ABC—A′B′C′中，四邊形A′ABB′是菱形，四邊形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB.(1)求證：平面CA′B⊥平面A′AB；(2)若C′B′＝2，AB＝4，∠ABB′＝60176。102)+42(3小圓的圓心，知A、B的球面距離，就可求得∠AOB的弧度數，進而求得線段AB的長，在ΔAO1B中，∠AO1B的大小就是A、B兩地的經度差. 解： 設O1是北緯45176。Sr＝S為a、b的公垂線段，．另有B在直線a上，且BA=2cm，求點B到直線b的距離．解析：如圖答920，過作，則與b確定平面a ．作于C，在平面a 內作CD⊥b于D，連結BD．∵ ∴ ． ∵ ，∴ ．∵ ，∴ BC⊥a ．∵ CD⊥b，∴ BD⊥b（三垂線定理），即BD為B點到b的距離．∵ ，∴ 為異面直線a與b所成的角，∴ ．∵ ，∴ CD=1．在Rt△BCD中，CD=1，∠BCD=90176。(xy)．即BD⊥DC，又∵ BD⊥AD，AD∩DC=D，∴ BD⊥平面ADC．　　（2）如圖答921，要證H是D在平面ABC上的射影，只需證DH⊥平面ABD．連結HA、HB、HC．∵ H是△ABC的垂心，∴ CH⊥AB．∵ CD⊥DA，CD⊥BD，∴ CD⊥平面ABD，∴ CD⊥AB．∵ CH∩CD=C，∴ AB⊥平面DCH． ∵ DH平面DCH，∴ AB⊥DH，即DH⊥AB，同理DH⊥BC．∵ AB∩BC=B，∴ DH⊥平面ABC．449. PA、PB、PC是從點P出發的三條射線，每兩條射線的夾角為60176。．　　（2）∵ ⊥平面ABCD，∴ 為與平面ABCD所成的角．設，則，∴ 　　（3）∵ 平面，∴ ∥平面，∴ 與平面所成的角為0176。tan,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan,又設正方體棱長為x，則3x2＝EG2＝4R2,x＝R.∴V正方體＝(lcosθtan)3.428. 如圖，過半徑為R的球面上一點P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC，(1)求證：PA2+PB2+PC2為定值；(2)求三棱錐P—ABC的體積的最大值.解析：先選其中兩條弦PA、PB，設其確定的平面截球得⊙O1，AB是⊙O1的直徑，連PO1并延長交⊙O1于D，PADB是矩形，PD2＝AB2＝PA2+PB2，然后只要證得PC和PD確定是大圓就可以了.解： (1)設過PA、PB的平面截球得⊙O1，∵PA⊥PB，∴AB是⊙O1的直徑，連PO1并延長交⊙O1于D，則PADB是矩形，PD2＝PA2+PB2.設O為球心，則OO1⊥平面⊙O1，∵PC⊥⊙O1平面，∴OO1∥PC，因此過PC、PD的平面經過球心O，截球得大圓，又PC⊥PD.∴CD是球的直徑.故 PA2+PB2+PC2＝PD2+PC2＝CD2＝4R2定值.(2)設PA、PB、PC的長分別為x、y、z，則三棱錐P—ABC的體積V＝xyz，V2＝x2y2z2≤()3＝tan60176。CF＝a.∴FH＝CF＝a.(3)取BE的中點G，連接FG、AG由(1)的結論，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD，∴AF⊥平面BDC.∵BF＝EF＝，∴FG⊥BE，由三垂線定理得，AG⊥BE，∴∠FGA為二面角D—BE—A的平面角.FG＝＝a,AF＝a.∴tg∠FGA＝＝,∠FAG＝arctg即