數(shù)學分析之函數(shù)的連續(xù)性(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 1 ,g u u u??因 為 在 連 續(xù) 所 以.112)s i n2(lims i n2lim 10 ?????? ?? x xx x xx例 3 .)11s i n(lim xx x???求解 1lim ( 1 ) e , sin e ,xxuux??? ? ?因 為 在 點 連 續(xù)所以 .es i n)11s i n(lim ????xx x.0))1(lims i n ()1s i n (lim 2121 ???? ?? xx xx).1s i n (lim 21 xx ??求例 1 22s in ( 1 ) ( ) s in , ( 1 )x g u u u x? ? ? ?可 視 為 的 復解 合，所以 均有 使得對一切 存在 , 0 D x D x ? ? ),)()(()()( 00 xfxfxfxf ??[ , ] , .ab 上的整體性質(zhì) 證明將在第七章里給出.],[ 上連續(xù)在閉區(qū)間設(shè) baf 在本節(jié)中將研究 f 在 二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定義 1 ( ) .f x D設(shè) 為 定 義 在 數(shù) 集 上 的 一 個 函 數(shù)若 ( ) ( ) ,f x D則 稱 在 上 有 最 大 小 值0 ()x 稱 為 最 大 小 值0( ) ( ) ( ) .f x f x D稱 為 在 上 的 最 大 小 值點 , 的最大值不存在 ,最小值為零 .注意 : ][ xxy ??既無最大值 ,又無最小值 . 22yx?? π πsin ( , )在 上定理 （最大、最小值定理） ()fx若 函 數(shù) 在 閉 區(qū)[ , ]ab間 上連續(xù)， ( ) [ , ] .f x a b則 在 上有最大、最小值xy sgn?例如 ,符號函數(shù) 的最大值為 1,最小值為 1。 xy s i n?正弦函數(shù) 的最大值為 1,最小值為 1。函數(shù) (其上確界為 1, 下確界為 1 ) 這個定理刻畫了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個深刻的 內(nèi)涵 ,在今后的學習中有很廣泛的應(yīng)用 . 推論 )(,],[)( xfbaxf 則上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù).],[ 上有界在 ba( 0 , 1 ) .在 上 無 界()fx函數(shù) 有最大、最小這是因為由定理 可知 , 值 , 從而有上界與下界 ,于是 f (x) 在 [a, b] 上 是有 1( ) , ( 0 , 1 )f x xx??函 數(shù) 雖然也是連續(xù)函數(shù) ,但是 界的 . 這說明定義在開區(qū)間和閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性 定理 （介值性定理） ],[)( baxf 在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ,f a f b f b f a??? ? ? ?間 的 任 一 數(shù) 或.)( 0 ??xf.)()( bfaf ?且 ( ) ( )f a f b?若 是 介 于 與 之上連續(xù) , 使得,),(0 bax ?則 (至少 )存在一點 質(zhì)有著根本的區(qū)別 . 從幾何上看 ,當連續(xù)曲線 從水平直線 ()y f x? y ??的一側(cè)穿到另一側(cè)時 , 兩者至少有一個交點 . ()y f x??yxo)(af)(bf?a b0x 推論 （ 根的存在性定理） ,],[)( 上連續(xù)在若 baxf0)( 0 ?xf則至少存在一點 ,0)()( ?? bfaf ,0x 使 ,)()( xxfxF ??.0))(())(()()( ?????? bbfaafbFaF則( ) , ( ) .a f a f b b??現(xiàn) 設(shè) 作輔助函數(shù)證 .)(,)( bbfafa ??由條件知.則結(jié)論成立 ( ) ( ) ,a f a b f b??若 或( ) [ , ] ,f x a b因 在 上 連 續(xù)( ) [ , ] .F x a b故 在 上也連續(xù).)( 00 xxf ?),(0 bax ?由介值性定理，存在 0( ) 0Fx ?使 ，即 0 0 0[ , ] , ( ) .x a b f x x??存 在 使例 4 .],[]),([],[ babafbaf ?上連續(xù)，在設(shè) 求證 : 證 不妨設(shè) f (x) 嚴格增 , 那么 )](,)([ bfaf 就是反 上連續(xù) , 且 與 f (x) 有相同的單調(diào)性 . )(1 xf ?定理 若函數(shù) f (x) 在 ab[ , ] 上嚴格單調(diào)且連續(xù) , 1 ( ) [ ( ) , ( ) ]y f x f a f b?? 在f b f a[ ( ) , ( ) ]或則反函數(shù) 三、反函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù) 的定義域 . )(1 yfx ??1 ( ) [ ( ) , ( ) ]x f y f a f b?? 在 上 嚴 格 增1. (證明見定 理 ). 2. 1 ( ) [ ( ) , ( ) ] .x f y f a f b?? 在 上 連 續(xù)(如圖所示 ) .0 bxa ??則),()( 0 bfyaf ?? ,)( 010 yfx ??令,0y對于任意O xya b()fa()fb0x0y① 每一 ② 對應(yīng) 1y2y0x e? 0x e?③ 任給 ⑤ 取 ? ?m i n 2 0 0 1,y y y y? ? ??④ 對應(yīng) ),()()( 21111 yfyfyf ??? ??.)()( 0101 ee ???? ?? yfyyf即時，當 )()( 2020 yyyyy ?????? e?類似地證明該函數(shù)在端點的連續(xù)性 . ? ?1 ( ) ( ) , ( )x f y f a f b?? 在這就說明了 上連續(xù) . ,)(,)( 0201 ee ???? xfyxfy,0},m i n { 1002 ???? yyyy?令設(shè), 00 bxxa ????? eee對于任意的正數(shù) 且嚴格增 . 關(guān)于其它的反三角函數(shù) ,c otar c,ar c t an,ar c c os xyxyxy ???均可得到在定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論 . 例 5 ( ) si n 22f x x ?????? ????由 于 在 ， 上 連 續(xù) 且 嚴 格 增 ， 因此它的反函數(shù) a r c s in [ 1 , 1 ]yx?? 在上也是連續(xù) 嚴格增 . 例 6 ( ) [ 0 )ny x n? ? ?由 于 為 正 整 數(shù) 在 ， 上連續(xù)且嚴 在 上亦為連續(xù)且 nxy 1?格增 , 那么其反函數(shù) ),0[ ??12| ( ) ( ) | ,f x f x e??只要 就有 12| | ,xx ??? 四、一致連續(xù)性 任意的正數(shù) 0?e 0?? , 使得對任意 ,存在 1 , 2 ,x x I?定義 2. 設(shè) 為定義在區(qū)間 I上的函數(shù) , 如果對于 ()fx則稱 在區(qū)間 I上一致連續(xù) . ()fx例 7 ( ) [ 1 , ) .f x x? ? ?證明 在 上一致連續(xù)證 有因為對任意的 ,),1[, 21 ???xx|,||||| 12211221 xxxxxxxx ??????0 , ,e ? e??所以對任意的正數(shù) 只要取 當12||xx ??? 時 ，1 2 2 1| | | | ,x x x x e? ? ? ?[ 1 ) .x ??所 以 在 ， 上 一 致 連 續(xù)證 首先我們根據(jù)一致連續(xù)的定義來敘述 f (x) 在區(qū) 例 8 1 ( 0 , 1 ) .y x?證明 在 內(nèi)不一致連續(xù)1 2 1 2, , | | ,x x I x x ?? ? ?雖 然但仍有 .|)()(| 021 e?? xfxf1 , ( 0 , 1 )yxx??現(xiàn)在來驗證函數(shù) 確實不是一致 連續(xù)的 . 0 0 , ( )e ? ??存在 對任意正數(shù) 無論 多么小，總有 間 I上 不一致連續(xù) 的定義： ),