高級微觀經濟學預期效用理論(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 數的概念加以擴大，凡是具有這個性質的實值函數，都可叫做預期效用函數。同時，把凸線性性叫做預期效用性質，作為對預期效用函數基本性質的刻畫。這樣，我們就有下述定義。 ))(d)()(( ?? X xfxUfEU))()1()())1((])(1,0[)(,( gEUpfp E UgpfpEUpgf ????????? D?定義 凡是具有如下性質的函數 u: D?R 都叫做 預期效用函數 ： (?f, g?D)(?p?[0,1])( u( pf +(1 p) g) = pu( f )+(1 p) u(g) ) 這條性質也就叫做 預期效用性質 。 3. 預期效用公理 那么，風險偏好究竟能不能用預期效用函數加以表示？即風險偏好的預期效用函數是否存在？ 如果這個問題能夠得到肯定的回答，那么就可以說，在風險選擇活動中，人們是依照預期效用大小進行選擇的。 為了得到了肯定的答案，人們對風險偏好提出了一些公理，通稱為 預期效用公理 ，主要包括： ?定義 當預期效用函數 u: D?R 成為風險偏好 p 的效用函數時，即 (?f, g?D)( ( f p g) ? (u( f ) ? u(g) ) 就稱 u 是 p 的 預期效用函數 或 預期效用表示 。 ? 阿基米德公理 ? 獨立性公理 ? 連續性公理 (1 q) f + qg (1 p) f + pg (1) 阿基米德公理 ? 阿基米德公理 風險偏好 p 滿足如下條件：對任何 f, g, h?D， 如果 f p h p g，則存在 p, q?(0,1) 使得 (1? p) f + pg p h p (1? q) f + qg。 f h g 阿基米德公理 本公理的合理性解釋 ：設 f, g, h?D且 f p h p g。 既然 f p g，以概率 p?(0, 1) 進行的復合行為 (1?p) f + pg 的優劣性就應介于 f 與 g 之間： f p (1? p) f + pg p g。 p 越大，采取較差行為 f 的概率越小，采取較好行為 g 的概率越大，從而復合行為 (1?p) f + pg 越好。這樣，復合行為 (1?p) f + pg 的優劣性與 p 成正比。 現在， f p h p g，那么就應該有某個較小的概率 p 和某個較大的概率 q，使得 (1? p) f + pg p h p (1? q) f + qg。 (1 p)g +ph (1 p) f + ph (2) 獨立性公理 ? 獨立性公理 風險偏好 p 滿足如下條件：對任何 f, g, h?D 及任何實數 p?[0,1]， 如果 f p g，則 (1? p) f + ph p (1? p) f + p h。 f g h 獨立性公理 本公理的合理性解釋 ： 設 f, g, h?D且 f p g。 在復合行為 (1 p) f + ph和 (1 p) g + ph中， 以相同的概率 p采取相同的行動 h，又分別以相同的概率 (1?p)采取不同的行動 f 和 g。這樣一來，這兩種復合行為 (1 p) f + ph和 (1 p) g + ph 究竟哪一個更優，便完全取決于 f 與 g 哪一個更優 , 而與第三種行為 h的優劣性無關 (即獨立于第三種行為 )。 (3) 連續性公理 ? 連續性公理 風險偏好 p 滿足如下條件：對任何 f , g, h?D， 集合{ p?[0,1] : (1? p) f + p g p h }和 { p?[0,1] : (1? p) f + p g ? h }都是閉區間 [0, 1]的閉子集 。 f g h 連續性公理 本公理的合理性解釋 ： 設 f, g, h?D且 f p g。則對復合行為 (1? p) f + p g的評價應該與概率 p 成正比： 選擇更好行為 g 的可能性越大 ， 復合行為越好 。這樣一來，由不比 h 優的復合行為中的概率 p 構成的集合應該是 [0, 1]的閉子集；由不比 h差的復合行為中的概率 p構成的集合也應該是 [0, 1]的閉子集。 連續性公理比阿基米德公理的要求更高 ， 它可以替代阿基米德公理 。 })1(:]1,0[{],[ hpgfppgf h ??????})1(:]1,0[{],[ hpgfppgf h p??????hgf ],[?hgf ],[3. 預期效用函數存在定理 ? 定理 設 p 是風險選擇集合 D上的偏好關系。 p 可用預期效用函數來表示 當且僅當 p 服從阿基米德公理和獨立性公理。 當 p 具有預期效用表示時， p 的預期效用函數在仿射變換下是唯一的：若 u 和 v 都是 p 的預期效用表示，則存在實數 a 和 b 使得對一切 f ?D 都有 v( f ) = a + b u( f ) 成立。 ? 注釋 1 預期效用公理是關于風險選擇行為理性的公理。即使 f 與 g是確定性的行為 (退化的風險行動 )，復合行為 (1?p) f + pg 也是風險行動。 ? 注釋 2 當風險偏好 p 具有預期效用表示時，風險空間 D 中的無差異曲線必是凸集，從而是 “ 直線 ”： 對任何 f, g ? D，如果 f ~ g，則 (?p?[0,1])( pf +(1?p)g ~ f )。 fggppf )1( ??D 無差異曲線 gf ~(三 ) VNM效用函數 預期效用函數存在定理雖然保證了風險偏好存在一般意義上的預期效用函數，但還不能保證通常意義上的預期效用函數也存在。 通常的預期效用函數是通過確定性選擇集合 X 上的確定性效用函數的積分來表達的，因此還需要研究積分形式的預期效用函數的存在性：如果 p 是 D 上的偏好關系，那么是否存在函數 U : X ? R 使得 EU : D ? R 成為 p 的效用函數？ 最早涉及這個問題研究的是數學家 馮 ?諾伊曼 和 摩根斯頓 。后人便把能使 EU 表達風險偏好的這個函數 U : X?R 叫做 von NeumannMenstern效用函數 ，簡稱 VNM效用函數 。準確地說，我們給出如下定義。 ? 定義 (VNM效用函數 ) 函數 U : X?R 叫做風險偏好 p 的 VNM效用函數，是指從 U 出發給出的函數 EU : D ? R 是 p 的效用函數，其中 EU 的定義為 ： 對任何 f ?D， 。 ?? X xfxUfEU )(d)()(1. 可測偏好與單調性公理 為了 VNM 效用函數的存在性，需要假定 風險環境中的狀態空間 ?是確定性選擇集合 X： ? = X。這個假設是說，消費者能夠對每次風險行動中 “ 選擇到 X 的某子集 B 中的向量 ” 的概率大小做出估計，也即可把風險環境中的隨機事件直接看成是 “ 選擇結果落在 X 的某個子集中 ”。 于是，風險環境 (?,F,P)為概率空間 (X,F,P)： (?,F,P) = (X,F,P) ? 定義 (可測偏好 ) 風險偏好關系 p 叫做是可測的 ， 是指對任何 x? X， 集合 {y?X : y p x}和 {y?X : y ? x}都是 F 的元素 ， 即都是概率空間 (X,F,P) 中的可測集合 。 ? 單調性公理 對任何 ??X 及 x?X， 如果 P{?(?) p x}=1， 即 ?(?) p x 對幾乎所有的 ???都成立 ， 則 ? p x； 如果 P{?(?) ? x}=1， 即 ?(?) ? x 對幾乎所有的 ???都成立 ， 則 ? ? x。 2. VNM效用函數存在定理 ? 定理 (積分形式 ) 設 (?, F, P) = (X, F, P) 且 (?x?X )({x}?F )。 如果 p 是 D 上的可測偏好關系并且服從阿基米德公理 、 獨立性公理和單調性公理，則存在一個有界可測函數 U : X ? R 滿足如下條件： (? f, g?D) (( f p g) ? ( ?X U(x) df (x) ? ?X U(x) dg(x) )) 即存在 p 的 VNM效用函數 。 ?風險行為準則 ：預期效用函數存在定理及 VNM效用存在定理告訴我們，在風險環境中，人們實際上是根據預期效用來對各種可能的風險活動進行評價，然后作出選擇的。這樣，人們的 風險行為準則 必然是 預期效用最大化 。 ?值得注意： VNM效用函數存在定理 并沒有說 只要一個定義在 X上的實值函數 U(x)是風險偏好 p 在 X 上的限制 的效用函數，即只要 U(x) 是消費者的確定性效用函數，那么從 U(x) 得出的預期效用函數 EU( f ) = ?X U(x) df (x) 就是 p 的 (預期 )效用函數！ Xp三、無常選擇與主觀概率 現在討論第二種不確定性：無常性 (uncertainty)，即不但經濟人的選擇結果不確定，而且連選擇到某種結果的概率都不存在，因而是完全地不確定。 在這種完全不確定的環境中，由于不存在事件發生的概率，經濟人在決策時就要靠經驗、靠感覺、靠信息來對事件發生的可能性作出主觀判斷，這就形成了所謂的 主觀概率 ，它因人而異。 事實上，現實經濟活動中，決策者涉及的概率一般都是主觀概率與客觀概率的混合體，決策者對事物的判斷既有主觀的成分，也有客觀的因素。 我們關心的問題是： 無常環境中，人們的行為準則是什么 ？ 是否依然是預期效用最大化 ？ 關于選擇行為的何種公理體系，能夠用于推斷主觀概率的存在？ 1954年，薩維奇研究了這些問題，構建出了無常選擇公理體系，并在 1972年又進行了修正和完善。 (一 ) 無常環境 無常環境是指完全不確定的選擇環境，其中既不能確定經濟人會選擇到那種具體結果，又不能確定選擇到某種結果的概率。 無常環境有著類似于風險環境的地方：經濟人的選擇結果依賴于一些不確定的因素 —— 無常因素，叫做自然狀態。仍用 ? 表示這些自然狀態的全體，稱為 狀態空間 。 無常環境區別于風險環境的地方，在于無常環境中沒有客觀存在的不確定事件發生概率，而風險環境中有。這樣一來，在無常環境中，狀態空間 ? 的任何子集都可以叫做 事件 ，因而事件域 F 是 ? 的 冪集 ： F = P = P(?)，即 ?的子集的全體。而風險環境中，事件域 F由 ?的一部分子集組成，特別是當 ?為無限集合時， F?? P(?)。 既然在無常環境中，經濟行為受制于狀態空間，特別是受制于不確定事件，因此，空間 (?, P)便代表著經濟人所處的無常環境。 ? 無常環境 ： (?, P)， 其中 P = P(?)={A : A ? ?}。 我們依然用 X 表示確定性選擇集合，即一切可能的選擇結果的集合，并依然假定 ? = X 。在無常環境中，由于沒有客觀概率的存在，這個假定顯得更加合理： 直接把各種可能的結果視為各種可能的不確定因素 。這樣，無常環境為 (?, P ) = (X, P)。進一步，我們假定： X 是 實數集合 R 的子集 ， 即 X ? R(這是薩維奇定理的需要 )。 在無常環境 (?, P ) 中，經濟人的選擇行為 (即 無常行為 )可用映射 ? : ??X 來表示 ，含義是說， 當狀態 ???出現時 , 選擇 ?(?)?X ；但不知道究竟會選擇到哪一個結果，也不知道選擇到 X 中某個結果的概率有多大 。用 X 表示一切可能的無常行為的全體，即 X = {x: x 是 從 ? 到 X 的映射 } 稱為經濟人的 無常 選擇集合 。 對于 ??X ，集合 ?[?]={?(?): ???}稱為無常行為 ? 的 結果集合 。注意， X 中的每種結果 x 都可看成 退化的無常行為 ? x： (????)(? x(?) = x)， 從而 X ? X。 (二 ) 無常選擇集合 ? 兩種無常行為的復合 設 ?,??X 且 A?P。 行為 ? 與 ? 通過事件 A 的復合行為 ， 記作 ， 是指這樣的一種 行為 ??X： 如果事件 A 發生 ， 則采取行動 ? ； 如果事件 A 沒有發生 ， 則采取行動 ?。 即 對任何 ???， 。 像風險行為的復合一樣，也可以把兩種或多種無常行為通過一個或多個事件復合起來，形成另一種無常行為。 (三 ) 無常行為的復合 ? 分劃 ?的 分劃 是指 P中的一組互不相交的事件 {A1, A2,? , An}使得 ， 即總都有且只有 {A1, A2,? , An}中一個事件發生。 ),( cAA ????