高等數學練習題及答案(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ） 積分 I=? ????L dyyyxdxxyx )56()4(42134 ?與路徑無關，則入 =（ ） 3已知2)( )( yx ydydxayx ? ??為某函數的全微分，則 a=（ ） 3 ? 為平面 4??? zyx 被圓柱面 122 ??yx 截出的有限部分，則曲面積分 ??? szd=（ ） 3面 ? 為 x2+y2+z2=R2 在第一極限的部分，其面密度為 P（ X,Y,Z） =X，則曲面的質量為（ ）。 3設 S 是平面 X+Y+Z=4 被圓柱 x2+y2=1 截出的有限部分，則曲面面積 ???yds=( ) 3面 ? 為 x2+y2+z2 在第一極限的部分其面密度為常數 p，則其繞 Z 軸的轉動慣量為（ ） 3面密度為 p 的上半球 ? ?? ????? 02222 yx 饒 z 軸的轉動慣量為（ ） 3設 ? ?? ?? 2221 yx為由 與 z=h（ ho）所圍立體的表面內側，則 ??? yxdzd =（ ） 3設 ????? ??? d x d ydabyxaz 的上側則為曲面 )0,(。 222 ?( ) 3設曲面 ? ??? 2222 azyx 的 外側，則 ??? szd =（ ） 設曲面 ? ??? 2222 azyx為 的外側， ??? ?? dx dyyx )( 22( ) 4設 ? 為球面 x2+y2+z2=a2的外側，則 ??? ?xdyz( ) 42 、設 ? ?? 22 yxz為錐面 下平面 =9 所圍成的空間區域的表面外側，則??? ?ydzdx ( ) 4向量場 ? ?? F =Z ? ?? K 穿過上半球面 z= 222 YXR ?? 的通量 I=( ) 4設 ? 為半球面 z= 224 y?? 的上側。側 ??? ??? z d x d yy d x d zx d y d z( ) 4設 L 為圓 13242 ?? yx 的弧，其周長為 a ，則 ? ???L dsyxxy )432( 22( ) 4均勻曲面 Z= 222 yxa ?? 的重心為 ( ) 4冪級數 ?????1132 12nnxnn 的收斂半徑是 （ ）。 4冪級數 ? ? 11?? n 的收斂區間是（ ） 4微分方程 0???? yy 的通解為（ ）。 50、微分方程 0136 ?????? yyy 的通解為（ ）。 5齊次線性方程 的通解為032 39。 ????? yyy （ ）。 5齊次方程 的特解為2|。1 ???? ?xyxxyxy（ ）。 5齊次方程（ 1+2e 的通解為0)1() ??? dyyxyxzedxyx（ ）。 5微分方程 xexyy sincos ??? 的通解是（ ）。 5微分方程 xxyy 2sintan ??? 的通解為（ ）。 5方程 的特解是滿足初始條件 3,0300 ??????? ?? xx yyyy（ ）。 5微分方程： 的通解為xxydxdy 42 ?? （ ）。 5設圓柱形浮筒，直徑為 米，垂直放在水中，當稍向下壓突然放開，浮筒在水 中上下振動的周期為 2 秒種，則浮筒的質量為（ ） kg. 5貝努利方程 的通解為5xyydxdy ?? （ ）。 60、方程 ? ?? ? yxyx ddddyx ???? 的通解為（ ）。 6方程 02 ??? xyx xdyxdyd 的通解為（ ）。 6方程 y39。 = 的通解為21 x? （ ）。 6方程 xxy sin12 ????? 的通解為（ ）。 6滿足微分方程 xy?? 的經過點 M（ 0， 1）且在此點與直線 y= 相切的積分曲線是12 ?x（ ）。 6微分方程 013 ????yy 的通解是（ ）。 6微分方程 ? ? yyy ?????? 3 的通解是（ ）。 6方程 ? ?21 yy ????? 的通解為（ ）。 6方程 0sin ???? yyx 滿足 0?x 時， 2??y ， 1??y 的特解是（ ）。 三、解答題 已知函數 ? ?yxxyyxyxf ta n, 22 ???，試求 ? ?tytxf , 已知函數 ? ? vuw WUwvuf ???, ,試求 ? ?xyyxyxf , ?? 設 ? ? 222, zxyzzyzyxf ??? ,求 ? ? ? ?2,0,1,1,0,0 xzxx ff 設 ? ?xyxz ln? ，求yzz???23 。 求函數： ? ?221ln yxz ??? 當 x=1,y=2 時的全微分。 求函數： Z=yx，當 x=2,y=1, , ???? yx 時的全增量和全微分。 求函數 ,1,1, ??????? yxyxez xy 當 時的全微分。 設 .,s in,c os,22xzyxuyxuuvvuz ?????? 求而 設 .,23,ln2xzyxuyxuvuz ?????? 求而 32 ,s in, tytxez yx ??? ? 而 求dtdz 11. 設 ? ? .,a r c ta ndxdzeyxyz x 求而 ?? 12. 設 ? ? dxdxzxaya zye ax ?? 求而 ,c o s,s in,12 ????? 1 求微分方程 xeyy x 2cos????? 的通解。 1設 .,a r c ta nln 22dydxxxyx 求?? 1設 .,022 xzx y zzyx ?????? 求。 1設yzzx ln? 求 .xz?? 1設 .,022x zx yze z ???? 求 1設 .,3 233yx zax y zz ????? 求 1求曲線 ?????? ?????? 22,1,122s in4,c os1,s in ?在點tztyttx處的切線方程。 求曲線 2,1,1 tzt tyttx ????? 在對應于 1?t 的點處的法平面方程。 2求曲線 xmzmxy ??? 22 ,2 在點 ? ?000 , zyx 處的法平面方程。 2求曲線??? ???? ???? 04532 03222 zyx xzyx 在點（ 1， 1， 1）處的法平面方程。 2求曲線 32 , tztytx ??? 上的點，使在該點的切線平行于平面 .42 ??? zyx 2求曲面 1222 ??? czbyax 在點 000 , zyx 處的切平面方程。 2求曲面 3??? xyzez 在點 ? ?0,1,2 處的切平面方程。 2求橢球面 12 222 ??? zyx 上平行平面 02 ??? zyx 的切平面方程。 2求函數 xyzu? 在點 ? ?2,1,5 處沿從點 ? ?2,1,5 到點 ? ?14,4,9 的方向的方向導數。 2設 ? ? ? ?0,0,0,62332, 222 g r a d fzyxxyzyxzyxf 求??????? 2求函數 ? ? ? ? 224, yxyxyxf ???? 的極值。 求函數 ? ? ? ?? ?22 46, yyxxyxf ??? 的極值。 3求函數 ? ? ? ?yyxeyxf zx 2, 2 ??? 的極值。 3求函數 ? ? xyyxyxf 3, 32 ??? 的極值。 3求函數 ? ? 22 21 yxz ??? 的極值。 3求函數 xyz? 在適合附加條件 1??yx 下的極大值。 3在平面 xoy 上求一點，使它到 01620,0 ????? yxyx 及 三直線的距離平方之和為最小。 3拋物面 22 yxz ?? 被平面 1??? zyx 截成一橢圓，求原點到這橢圓的最長與最短距離。 3計算二重積分 ? ? ,22 ?dyxD?? ?其中 D 是矩形區域： 1,1 ?? yx 3計算二重積分 ? ??? ?D dyx ,cos ?其中 D 是三頂點分別為 ? ? ? ? ? ???? ,0,0,0 和 的三角形區域。 3求由平面 1,0,0 ???? yxyx 所圍成的柱體被平面 0?z 及拋物面 zyx ??? 622 截得的立體體積。 求由曲面 22 2yxz ?? 及 2226 yxz ??? 所圍成的立體的體積。 4求球面 2222 azyx ??? 含在圓柱面 axyx ?? 22 內部的那部分面積。 4求底圓半徑相等的兩個直圓柱面 222 Ryx ?? 及 222 Rzx ?? 及 222 Rzx ?? 所圍立體的表面積。 4球心在原點，半徑為 R的球體，在其上任意一點的密度的大小與這點到球心的距離成正比，求這球體的質量。 4球體 2222 2 Rzyx ??? 內，各點處的密度的大小等于該點到坐標原點的距離的平方，試求這球體的重心。 45 、一均勻物體（密度 P 為常量）占有的閉區域 ? 由曲面 222 yxz ?? 和平面ayaxz ??? ,0 所圍成。求該物體的體積。 4計算 。342 dsyxz ?????? ?????其中 ? 為平面 1432 ??? zyx 在第一極限中的部分。 4計算 ? ?? zyxT dzxdyd 232 ；其中 T 是圓周 ,0,9222 ???? zzyx 若從 z 軸正向看去，取逆時針方向。 4計算 ? ? ,22 dsyxL 其中 L 為圓周 .22 axyx ?? 4計算 ? ?? ?? ,x dydxyzaL 其中 L為擺線 ? ? ? ?taytax c o s1,s in1 ???? 上對應 t 從 0到 2?的一段弧。 50、計算 ,xyzdxdy???其中 ? 為球面 1222 ??? zyx ? ?0,0 ?? yx 的外側。 5一曲線通過點 ? ?3,2 ，它在兩坐標軸間的任一切線線段被中點平分，求這個曲線方程。 5求微分方程： xeydxdy ??? 的通解。 5求微方程： 232 ????? xxyyx 的通解。 5求全微方程 ? ? ? ? 04663 2222 ???? dyyyxdxxyx 的通解 5求全微分方程 ? ? ? ? 02 222 ????? dyyxdxyxya 的通解。 5求全微分方程 ? ? 02 ??? dyyxedxe yy 的通解。 5求全微分方程 ? ? 0s ins inc o sc o s ????? yxyyxyx 的通解。 5求微分方程 ? ? 02 ??? x dydxyx 的通解。 5求全微分方程的： xxy sin???? 的通解。 60、求 xxey ?? 的通解。 6求21 1xy ????的通解 。 6求 xyy ????? 的通解。 6已知 ? ? xexy ?1 是齊次線性方程 ? ? ? ? 021212 ???????? yyxyx 的一個解，求此方程的通解。 6已知 ? ? xxy ?1 是齊次線性方程 0222 ?????? yyxyx 的一個解，求非齊次線性方程0222 ?????? yyxyx 的一個解，求非齊次線性方程 32 222 xyxyyx ????? 的通解。 6已知齊次線性方程。 0???? yy 的通解為 ? ? ,s inc o s 21 xcxcxy ?? 求非齊次線性方程xyy sec???? 的通解。 6已知齊次線性方程。 ? ? ? ?211 ???????? xyyxyx 的通解為 ? ? ,121 ???? nxcxcxy 求非齊次線性方程 ? ?yx ??1 xyyx ??? 的通解。 6已知方程 044 ?????? yyy 的特解為 xx xeyey 2221 , ?? ?? 求 xyyy ?????? 44 的通解。 6求微分方程 ? ? 04 ??yy 的通解。 6求微分方程 ? ? 024 ????? yyy 的通解。 70、求微分方程 ? ? 024 ???????? yyy 的通解。 7求微分方程 ? ? 03654 ????? yyy 的通解。 7求微分方程 xeyyy 22 ?????? 的通解。 7求微分方程 xeyay ???