計數原理復習資料(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 向一 分 類加法計數原理 【例 1】 ?(2020全國 )某同學有同樣的畫冊 2 本，同樣的集郵冊 3 本，從中取出 4本贈送給 4 位朋友，每位朋友一本，則不同的贈送方法共有 ( )． A． 4 種 B． 10 種 C． 18 種 D． 20 種 [審題視點 ] 由于是兩類不同的書本，故用分類加法計數原理． 解析 贈送一本畫冊， 3 本集郵冊，共 4 種方法；贈送 2 本畫冊， 2 本集郵冊共C24種方法，由分類計數原理知不同的贈送方法共 4＋ C24＝ 10(種 )． 答案 B 分類時，首先要確定一個恰當的分類標準，然后進行分類；其次分類時要注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數原理． 【訓練 1】 如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有 ________個． 解析 把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類： 第一類，有一條公共邊的三角形共有 8 4＝ 32(個 )； 第二類，有兩條公共邊的三角形共有 8(個 )． 由分類加法計數原理知，共有 32＋ 8＝ 40(個 )． 答案 40 考向二 分步乘法計數原理 【例 2】 ?(2020北京 )用數字 2,3 組成四位數，且數字 2,3 至少都出現一次，這樣的四位數共有 ________個 (用數字作答 )． [審題視點 ] 組成這個四位數須分 4步完成，故用分步乘法計數原理． 解析 法一 用 2,3 組成四位數共有 2 2 2 2＝ 16(個 )，其中不出現 2 或不出現 3 的共 2 個，因此滿足條件的四位數共有 16－ 2＝ 14(個 )． 法二 滿足條件的四位數可 分為三類：第一類含有一個 2，三個 3，共有 4 個；第二類含有三個 2，一個 3 共有 4 個；第三類含有二個 2，二個 3 共有 C24＝ 6(個 )，因此滿足條件的四位數共有 2 4＋ C24＝ 14(個 )． 答案 14 此類問題，首先將完成這件事的過程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積．注意：各步之間相互聯系，依次都完成后，才能做完這件事．簡單說使用分步計數原理的原則是步與步之間的方法 “ 相互獨立，逐步完成 ” ． 【訓練 2】 由數字 1,2,3,4， (1)可組成多少個 3 位數； (2)可組成多少個沒有重復數字的 3 位數； (3)可組成多少個沒有重復數字的三位數，且百位數字大于十位數字，十位數字大于個位數字． 解 (1)百位數共有 4 種排法；十位數共有 4 種排法；個位數共有 4 種排法，根據分步計數原理共可組成 43＝ 64 個 3 位數． (2)百位上共有 4 種排法；十位上共有 3 種排法；個位上共有 2 種排法，由分步計數原理共可排成沒有重復數字的 3 位數 4 3 2＝ 24(個 )． (3)排出的三位數分別是 43 43 42 321，共 4 個． 考向三 涂色問題 【例 3】 ? 如圖，用 5 種不同的顏色給圖中 A、 B、 C、 D 四個區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法？ [審題視點 ] 根據乘法原理逐塊涂色，要注意在不相鄰的區域內可使用同一種顏色． 解 法一 如題圖分四個步驟來完成涂色這件事： 涂 A有 5 種涂法；涂 B 有 4 種方法；涂 C 有 3 種方法；涂 D 有 3 種方法 (還可以使用涂 A的顏色 )． 根據分步計數原理共有 5 4 3 3＝ 180 種涂色方法． 法二 由于 A、 B、 C 兩兩相鄰，因此三個區域的顏色互不相同，共有 A35＝ 60 種涂法；又 D 與 B、 C 相鄰、因此 D 有 3 種涂法；由分步計數原理知共有 60 3＝ 180 種涂法． 涂色問題的實質是分類與分步，一般是整體分步，分步過程中若出現某一步需分情況說明時還要進行分類．涂色問題通常沒有固定的方法可循，只能按照題目的實際情況，結合兩個基本原理和排列組合的知識靈活處理． 【訓練 3】 如圖所示，將一 個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有 5 種顏色可供使用，求不同的染色方法種數． 解 法一 可分為兩大步進行，先將四棱錐一側面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數，用分步乘法原理即可得出結論．由題設，四棱錐 S ABCD的頂點 S、 A、 B 所染的顏色互不相同，它們共有 5 4 3＝ 60 種染色方法． 當 S、 A、 B 染好時，不妨設其顏色分別為 3，若 C 染 2，則 D 可染 3 或 4或 5，有 3 種染法；若 C 染 4，則 D 可染 3 或 5，有 2 種染法，若 C 染 5，則 D可染 3 或 4，有 2 種染法．可見，當 S、 A、 B 已染好時， C、 D 還有 7 種染法，故不同的染色方法有 60 7＝ 420(種 )． 法二 以 S、 A、 B、 C、 D 順序分步染色 第一步， S 點染色，有 5 種方法； 第二步， A點染色，與 S 在同一條棱上，有 4 種方法； 第三步， B 點染色，與 S、 A分別在同一條棱上，有 3 種方法； 第四步， C 點染色，也有 3 種方法，但考慮到 D 點與 S、 A、 C 相鄰，需要針對A 與 C 是否同色進行分類，當 A 與 C 同色時， D 點有 3 種染色方法；當 A 與 C不同色時，因為 C 與 S、 B 也不同色，所以 C 點有 2 種染色方法， D 點也有 2 種染色方法．由分步乘法、分類加法計數原理得不同的 染色方法共有5 4 3 (1 3＋ 2 2)＝ 420(種 )． 法三 按所用顏色種數分類 第一類， 5 種顏色全用，共有 A55種不同的方法； 第二類，只用 4 種顏色，則必有某兩個頂點同色 (A與 C，或 B 與 D)，共有 2 A45種不同的方法； 第三類，只用 3 種顏色，則 A與 C、 B 與 D 必定同色，共有 A35種不同的方法． 由分類加法計數原理，得不同的染色方法總數為 A 55＋ 2 A 45＋ A 35＝420( 種 ) ． 規范解答 20—— 如何解決涂色問題 【問題研究】 涂色問題是由兩個基本原理和排列組合知識的綜合運用所產生的一類問題，這類問題是計數原理應用的典型問題，由于涂色本身就是策略的一個運用過程，能較好地考查考生的思維連貫性與敏捷性，加之涂色問題的趣味性，自然成為新課標高考的命題熱點 . 【解決方案】 涂色問題的關鍵是顏色的數目和在不相鄰的區域內是否可以使用同一種顏色，具體操作法和按照顏色的數目進行分類法是解決這類 問題的首選方法 . 【 示例 】 ? (本小題滿分 12 分 )用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在 “ 田 ” 字形的 4 個小方格內，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？ 顏色可以反復使用，即說明在不相鄰的小方格內可以使用同一種顏色，首先確定第一個小方格的涂法，再考慮其相鄰的兩個小方格的涂法． 1 2 3 4 [解答示范 ] 如圖所示，將 4 個小方格依次編號為 1,2,3,4，第 1 個小方格可以從 5種顏色中任取一種顏色涂上，有 5 種不同的涂法． (2分 ) ① 當第 2 個、第 3 個小方格涂不同顏色時，有 A24＝ 12 種不同的涂法，第 4 個小方格有 3 種不同的涂法．由分步計數原理可知，有 5 12 3＝ 180 種不同的涂法；(6分 ) ② 當第 2 個、第 3 個小方格涂相同顏色時，有 4 種涂法，由于相鄰西格不同色，因此，第 4 個小方格也有 4 種不同的涂法，由分步計數原理可知．有 5 4 4＝80 種不同的涂法． (10分 ) 由分類加法計數原理可得，共有 180＋ 80＝ 260 種不同的涂法． (12分 ) 在涂色問題中一定要看顏色是否可以重復使用，不允許重復使用的涂色問題實際上就是一般的排列問題，當顏色允許重復使用時，要充分利用兩個計數原理分析解決問題． 【試一試】 (2020湖北 )給 n 個自上而下相連的正方形著黑色或白色．當 n≤ 4 時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示： 由此推斷，當 n＝ 6 時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有 ___