概率論與數理統計參數估計(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 為未知 , 又設 nXXX , 21 ? 是來自 X 的樣本 . 試求 2,?? 的矩估計量 . 例 4（講義例 4） 設總體 X 的概率分布為 22 )1()1(2 321 ???? ??kPX 其中 ? 為未知參數 .現抽得一個樣本 ,1,2,1 321 ??? xxx 求 ? 的矩估計值 . 最大似然估計法 例 5 （講義例 5） 設 ),1(~ pbX ， nXXX , 21 ? 是取自總體 X 的一個樣本，試求參數 p的最大似然估計 . 例 6（講義例 6） 設總體 X 服從 ],0[ ? 上的均勻分布 , ? 未知 . nXX ,1 ? 為 X 的樣本 , nxx ,1 ? 為樣本值 . 試求 ? 的最大似然估計 . 例 7（講義例 7） 設總體 X 服從指數分布 , 其概率密度函數 ??? ??? ? 0,0 0,),( xxexf x??? 其中 0?? , 是未知參數 . nxxx , 21 ? 是來自總體 X 的樣本觀察值 , 求參數 ? 的最大似然估計值 . 例 8（講義例 8） 設 nxxx , 21 ? 是正態總體 ),( 2??N 的樣本觀察值 , 其中 2,?? 是未知參數 , 試求 ? 和 2? 的最大似然估計值 . 課堂練習 1. 設總體 X 具有概率概率密度 ??? ??? ?? ????? ?? xxexf x,0 ,),( )( 其中 ?? ,0? 為未知參數 . nXXX , 21 ? 是來自總體 X 的樣本 , 求 ??, 的矩估計 量 . 2. 設總體 X 在 ],[ ba 上服從均勻分布， ba, 未知， nxxx , 21 ? 是一個樣本值 . 試求 ba,的最大值似然估計量 . 第三節 置信區間 前面討論了參數的點估計 , 它是用樣本算出的一個值去估計未知參數 . 即點估計值僅僅是未知參數的一個近似值 , 它沒有給出這個近似值的誤差范圍 . 例如 , 在估計某湖 泊中魚的數量的問題中 , 若根據一個實際樣本 , 利用最大似然估計法估計出魚的數量為 50000 條 , 這種估計結果使用起來把握不大 . 實際上 , 魚的數量的真值可能大于 50000 條 , 也可能小于 50000 條 .且可能偏差較大 . 若能給出一個估計區間 , 讓我們能 較大把握地 (其程度可用概率來度量之 )相信魚的數量的真值被含在這個區間內 , 這樣的估計顯然更有實用價值 . 本節將要引入的另一類估計即為 區間估計 , 在區間估計理論中 , 被廣泛接受的一種觀點是 置信區間 , 它由奈曼 (Neymann)于 1934 年提出的 . 內容分布圖示 ★ 引言 ★ 置信區間的概念 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 尋求置信區間的方法 ★ 例 3 ★ )10( ? 分布參數的區間估計 ★ 例 4 ★ 單側置信區間 ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 內容小結 ★ 課堂練習 ★ 習題 63 ★ 返回 內容要點： 一、 置信區間的概念 定義 1 設 ? 為總體分布的未知參數 , nXXX , 21 ? 是取自總體 X 的一個樣本 , 對給定的數 )10(1 ??? ?? , 若存在統計量 ),(),( 2121 nn XXXXXX ?? ???? ?? 使得 ,1}{ ???? ????P 則稱隨機區間 ),( ?? 為 ? 的 ??1 雙側置信區間 , 稱 ??1 為 置信度 , 又分別稱 ? 與 ? 為 ? 的 雙側置信下限 與 雙側置信上限 . 注 : 1. 置信度 ??1 的含義 : 在隨機抽樣中 , 若重復抽樣多次 , 得到樣本 nXXX , 21 ? 的多個樣本值 ),( 21 nxxx ? , 對應每個樣本值都確定了一個置信區間 ),( ?? , 每個這樣的區間要么包含了 ? 的真值 , 要么不包含 ? 的真值 . 根據伯努利大數定理 , 當抽樣次數充分大時 , 這些區間中包含 ? 的真值的頻率接近于置信度 (即概率 ) ??1 , 即在這些區間中包含 ? 的真值的區間大約有 )%1(100 ?? 個 ,不 包含 ? 的真值的區間大約有 %100? 個 . 例如 , 若令 ??? , 重復抽樣 100 次 , 則其中大約有 95個區間包含 ? 的真值 , 大約有 5 個區間不包含 ? 的真值 . 2. 置信區間 ),( ?? 也是對未知參數 ? 的一種估計 , 區間的長度意味著誤 差 , 故區間估計與點估計是互補的兩種參數估計 . 3. 置信度與估計精度是一對矛盾 .置信度 ??1 越大 , 置信區間 ),( ?? 包含 ? 的真值的概率就越大 , 但區間 ),( ?? 的長度就越大 , 對未知參數 ? 的估計精度就越差 . 反之 , 對參數 ?的估計精度越高 , 置信區間 ),( ?? 長度就越小 , ),( ?? 包含 ? 的真值的概率就越低 , 置信度??1 越小 . 一般準則 是 : 在保證置信度的條件下盡可能提高估計精度 . 二、尋求置信區間的方法 尋求置信區間的基本思想 : 在點估計的基礎上 , 構造合適的函數 , 并針對給定的置信度導出置信區間 . 一般步驟 : (1) 選取未知參數 ? 的某個較優估計量 ?? 。 (2) 圍繞 ?? 構造一個依賴于樣本與參數 ? 的函數 )。,( 21 ?nXXXuu ?? (3) 對給定的置信水平 ??1 ,確定 1? 與 2? ,使 ,1}{ 21 ??? ???? uP 通常可選取滿足2}{}{ 21 ??? ???? uPuP的 1? 與 2? ，在常用分布情況下 , 這可由分位數表查得 。 (4) 對不等式作恒等變形化后為 ???? ???? 1}{P , 則 ),( ?? 就是 ? 的置信度為 ??1 的雙側置信區間。 三、 (0— 1)分布參數的置信區間 考慮 (0— 1)分布情形 , 設其總體 X 的分布率為 ),10(,1}0{,}1{ ??????? ppXPpXP 現求 p 的置信度為 ??1 置信區間 . 已知 (0— 1)分布的均值和方差分別為 ),1()(,)( ppXDpXE ??? 設 nXXX , 21 ? 是總體 X 的一個樣本 , 由中心極限定理知 , 當 n 充分大時 , npp pXnXD XEXu /)1(/)( )( ????? 近似服從 )1,0(N 分布 , 對給定的置信度 ??1 , 則有 ,1/)1( 2/ ?? ???????????? ??? unpp pXP 經不等式 變形得 ,1}0{ 2 ?????? cbpapP 其中 .)(,)(2,)( 222/22/ XncuXnbuna ?????? ?? 解式中不等式得 ,1}{ 21 ????? pppP 其中 ).4(21),4(21 2221 acbbapacbbap ???????? 于是 ),( 21 pp 可作為 p 的置信度為 ??1 的置信區間 . 四、單側置信區間 前面討論的置信區間 ),( ?? 稱為雙側置信區間 , 但在有些實際問題中只要考慮選 取滿足?? ?? }{ 1uP 或 ?? ?? }{ 2uP 的 1? 與 2? ，對不等式