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注冊(cè)巖土工程師數(shù)學(xué)考試復(fù)習(xí)資料(編輯修改稿)

2025-09-25 17:44 本頁(yè)面

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】符號(hào)，因而函數(shù) f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。函數(shù)的極值判定：設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間（ a,b）內(nèi)有定義， x0 是（ a,b）內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，如果存在著點(diǎn) x0 的一個(gè)鄰域，對(duì)于這鄰域內(nèi)的任何點(diǎn) x，除了點(diǎn) x0 外， f(x)f(x0)均成立，就稱 f(x0)是函數(shù) f(x)的一個(gè) 極小值。必要條件：設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0 處具有導(dǎo)數(shù)，且在 x0 處取得極值，那么這函數(shù)在 x0 處的導(dǎo)數(shù) f’(x)=0 。使導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)叫做函數(shù) f(x)的駐點(diǎn)。第一種充分條件：設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0 的一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)且 f’(x)=0 如果當(dāng) x 取 x0左側(cè)鄰近的值時(shí)， f’(x) 恒為正，當(dāng) x 取 x0 右側(cè)鄰近的值時(shí)， f’(x) 恒為負(fù)，那么 f(x)在x0 處取得極大值；如果當(dāng) x 取 x0 左側(cè)鄰近的值時(shí)， f’(x) 恒為負(fù)，當(dāng) x 取 x0 右側(cè)鄰近的值時(shí)， f’(x) 恒為正，那么 f(x)在 x0 處取得極小值；如果當(dāng) x 取 x0 左右兩側(cè)鄰近的值時(shí)， f’(x) 恒為正或恒為負(fù)，那么函數(shù) f(x)在 x0 處沒(méi)有極值。第二種充分條件：設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0 處具有二階導(dǎo)數(shù)且 f’(x0)=0 ， f’(x0)≠0 ，那么（ 1）當(dāng) f’’(x0)0 時(shí)，函數(shù) f(x) 在 x0 處取得極大值；（ 2） f’’(x0)0 時(shí)，函數(shù)f(x) 在 x0 處取得極小值。例 1求函數(shù) f(x)=（ x21） 3+1 的極值。解： f’(x)=6x （ x21） 2令 f’(x)=0 ，求得駐點(diǎn) x1=1,x2=0,x3=1， f’’(x)=6 （ x21） (5x21),因 f’’(0)=60,f(x) 在 x=0處取得極小值，極小值為 0；因 f’’( 1)= f’’(+1)=0,用定理無(wú)法判別，只能看導(dǎo)數(shù) f’(x) 在駐點(diǎn) x1=1， x3=1 左右鄰近的符號(hào)。當(dāng) x 取 1 左側(cè)鄰近的值時(shí)， f’(x)0 ，當(dāng) x 取 1 右側(cè)鄰近的值時(shí)， f’(x)0 ，所以在 x=1 處沒(méi)有極值。函數(shù)的最大值和最小值的判定：設(shè) f(x)在 (a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)為 x1,x2,?xn 則比較 f(a)、f(x1)、 f(x2)?f(xn),f(b) 的大小，其中最大的便是 f(x)在 [a,b]上的最大值，最小的便是 f(x)在 [a,b]上的最小值。例 1求函數(shù) y=2x3+3x212x+14在 [3， 4]上的最大值與最小值。解： f(x)= 2x3+3x212x+14,f’(x)=6x 2+6x12=0，解得 x1=2,x2=1。，求得 f(3)、 f(2)、f(1)、 f(4)可得在 x=4 處取得它在 [3， 4]上的最大值，在 x=1 取得它在該區(qū)間上的最小值。曲線的凹凸性與拐點(diǎn)的判定：設(shè) f(x)在 (a,b)內(nèi) 2，內(nèi)如果對(duì) (a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn) x1,x2，恒有 3 多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用。：多元函數(shù)的概念：設(shè) D 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn) P(x,y)∈D 變量 z 按照一定的法則總有確定的值和它對(duì) 應(yīng)，則稱 z 是變量 x,y 的二元函數(shù)，記為 z=f(x,y)點(diǎn)集 D 稱為該函數(shù)的定義域， x,y 稱為自變量， z 稱為因變量。：設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn)（ x0,y0）的某一鄰戴內(nèi)有定義，當(dāng) y 固定在 y0 上面的結(jié)果，就得到結(jié)果。高階偏導(dǎo)數(shù) ：若函數(shù) z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) fx(x,y)及 fy(x,y)存在，則稱它們?yōu)?f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。：（必要條件）設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn)（ x0,y0）具有偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)（ x0,y0）處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)為零，即 fx（ x0,y0） =0 fy（ x0,y0） =0 （充分條件）設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn)（ x0,y0）的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 fx（ x0,y0） =0 fy （ x0,y0） =0,記 A= fxx（ x0,y0） B= fxy（ x0,y0） C= fyy（ x0,y0）則當(dāng) ACB20 時(shí)，具有極值 f（ x0,y0）且當(dāng) A0 時(shí)， f（ x0,y0）為極大值，當(dāng) A0 時(shí)， f（ x0,y0）為極小值。 ACB20 時(shí)，沒(méi)有極值。 ACB2=0 時(shí)，可能有極值，也可能沒(méi)有極值，還需另作討論。具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) z=f(x,y)極值的求法敘述如下：第一步：解方程組， fx(x,y)=0 f(x,y) =0 求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。第二步：對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)（ x0,y0），求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A、 B、 C。第三步：定出 ACB2的符號(hào)，按上述定理的結(jié)論判定 f(x,y)時(shí)否有極值，是極大值還是極小值。例 2求曲線 x=t,y=t2,z=t3在占點(diǎn)（ 1， 1， 1）處的切線及法平面方程。第四講不定積分、定積分、廣義積分的的概念及計(jì)算一、內(nèi)容提要：本講主要是講解不定積分的概念與性質(zhì)，不定積分的換元積分法和分部積分法，定積分的概念與性質(zhì)，定積分的換元積分法和分部積分法，無(wú)窮限的廣義積分和無(wú)界函數(shù)的廣義積分。二、重點(diǎn)：本講的重點(diǎn)是不定積分和定積分的換元積分法和分部積分法。難點(diǎn)：本講的難點(diǎn)是廣義積分的計(jì)算。三、內(nèi)容講解：不定積分：原函數(shù)的概念：如果在區(qū)間 I 內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù) F(x)的導(dǎo)函數(shù)為 f(x)，即對(duì)任一 x∈I 都有 F’(x)=f(x) 或 d F(x)= f(x)dx，那末函數(shù) F(x)就稱為 f(x)(或 f(x)dx)在區(qū)間 I 內(nèi)的原函數(shù)。原函數(shù)存在的定理：如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 I 內(nèi)連續(xù)，那末在區(qū)間 I 內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù) F(x)，使對(duì)任一 x∈I 都有 F’(x)=f(x) 。不定積分的概念：在區(qū)間 I 內(nèi)，函數(shù) f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為 f(x)(或f(x)dx) ：無(wú)界函數(shù)的廣義積分：第五講重積分、平面曲線積分以及積分的應(yīng)用一、內(nèi)容提要：本講主要是講解二、三重積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算，平面曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算以及定積分的應(yīng)用、二重積分的應(yīng)用問(wèn)題。二、重點(diǎn)：本講的重點(diǎn)是二重積分

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