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高考數學空間向量與立體幾何(編輯修改稿)

2025-09-27 17:46 本頁面

　

【文章內容簡介】 P 在線段 BD1上，當 ∠ APC 最大時，三棱錐 P173。ABC 的體積為 ________．解析：如圖，以 B為坐標原點， BA為 x軸， BC為 y軸， BB1為 z軸建立空間直角坐標系，設 BP→ ＝ λ BD→1(0≤ λ ≤1) ，可得 P(λ ， λ ， λ )，再由 cos∠ APC＝PA→ PC→|PA→ || PC→ |可求得當 λ ＝ 13時， ∠ APC最大，故 VP173。ABC＝ 13 1211 13＝ 118，故填 118. 答案： 118 三、解答題 9．如圖， AC是圓 O的直徑，點 B在圓 O上， ∠ BAC＝ 30176。， BM⊥ AC交 AC于點 M， EA⊥ 平面 ABC， FC∥ EA， AC＝ 4， EA＝ 3， FC＝ 1. (1)證明： EM⊥ BF； (2)求平面 BEF與平面 ABC所成的銳二面角的余弦值．解： (1)證明：因為 AC是圓 O的直徑，所以 ∠ ABC＝ 90176。，又 ∠ BAC＝ 30176。， AC＝ 4，所以 AB＝ 2 3，而 BM⊥ AC，易得 AM＝ 3， BM＝ 3. 如圖，以 A為坐標原點，垂直于 AC的直線、 AC、 AE所在的直線為 x， y， z軸建立空間直角坐標系．由已知條件得 A(0,0,0)， M(0,3,0)， E(0,0,3)， B( 3， 3,0)， F(0,4,1)，歡迎交流唯一 1294383109 希望大家互相交流 ∴ ME→ ＝ (0，－ 3,3)， BF→ ＝ (－ 3， 1,1)．由 ME→ BF→ ＝ (0，－ 3,3)( － 3， 1,1)＝ 0，得 ME→ ⊥ BF→ ， ∴ EM⊥ BF. (2)由 (1)知 BE→ ＝ (－ 3，－ 3,3)， BF→ ＝ (－ 3， 1,1)．設平面 BEF的法向量為 n＝ (x， y， z)，由 n BE→ ＝ 0， n BF→ ＝ 0，得 ??? － 3x－ 3y＋ 3z＝ 0－ 3x＋ y＋ z＝ 0，令 x＝ 3得 y＝ 1， z＝ 2， ∴ n＝ ( 3， 1,2)，由已知 EA⊥ 平面 ABC，所以平面 ABC的一個法向量為 AE→ ＝ (0,0,3)，設平面 BEF與平面 ABC所成的銳二面角為 θ ，則 cosθ ＝ |cos〈 n， AE→ 〉 |＝ | 30 ＋ 1 0＋ 23|32 2 ＝ 22 ，故平面 BEF與平面 ABC所成的銳二

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