探討類比法在數學解題中的應用本科畢業論文(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ?。（如圖 8） （ 6） 平面內的正三角形與空間中的正四面體公式類比： 正 三 角 形 的 高 3 ,2ha? 周長3,la? 面積 23 .4Sa? 正四面體的高 6 ,3ha? 表面積23,Sa? 體積 32 .12Va? 正三角形內任意一點到三邊的距離和為定值即正三角形的高。 正四面體內任意一點到四個面的距離和為定值即正四面體的高。 正三角形的內切圓與外接圓的圓心重合即正三角形的中心，半徑比為１：２， 33,.63r a R a??內切圓切于三邊的中點。 正四面體的內切球與外接球的球心重合即正四面體的中心，半徑比為１：３， 66,.12 4r a R a??內切球切于四個面的中心。 正三角形的三邊的中點的連線仍構成正三角形，邊長為 2a 。 正四面體的四個面的中心的連線仍構成正四面體，棱長為 3a 。 ??6 ： 等差數列通式： 1 ( 1)na a n d? ? ? 其中 1a 為首項， na 為第 n 項的通項公式， d 為公差 等差數列前 n項和公式為： 1 ( 1) / 2ns na n n d? ? ? 1( ) / 2nns a a n?? ??6 ： 等比數列的 通項公式 是： 12 11 nna a q ??? 等比數列前 n項之和公式為： （ 1）當 q≠ 1 時， 11( 1 ) / ( 1 ) ( ) ( 1 )nn n nS a q q a a q q? ? ? ? ? ? ? ?或 S （ 2）當 q=1 時， 1( 1)nS na q?? 其中首項 1a 與公比 q 都不為零。 3 類比思想在數學性質中的體現 幾何與立體幾何中也存在性質之間的類比： （ 1） 三角形存在唯一的外接圓和內切圓， 三棱錐存在唯一的外接球和內切球； （ 2）三角形的三條中線相交于一點，且該點分每條中線的比為 1:2 ， 三棱錐的四條中 線相交于一點，且該點分每條中線的比為 1:3 ； （ 3）三角形的三條角平分線交于一點，這個點是三角形內切圓的圓心， 三棱錐的六個二面角的平分面相交于一點，這個點是三棱錐內切球的球心。 （ 4）在直線上，到兩點的距離相等的點的集合是以這兩點為端點的線段的中點； 在平面上，到兩點的距離相等的點的集合是以這兩點為端點的線段的中垂線； 在空間中，到兩點的距離相等的點的集合是以這兩點為端點的線段的中垂面。 （ 5）在直線上，到定點的距離相等的點的集合是等距的兩點； 在平面上，到定點的距離相等的點的集合是以這兩點為端點的直徑的圓； 在空間中，到定點的距離相等的點的集合是以這兩點為端點的直徑的球面。 （ 6）平面內的一般三角形與空間中的四面體性質類比： 三角形 四面體 三角形兩邊之和大于第三邊 . 四面體任意三個面的面積之和大于第四個面的面積． 三角形的三條內角平分線交于一點且該點是三角形內切圓的圓心 . 四面體的六個二面角的平分面交于一點，且該點是四面體內切球的球心． 三角形任意兩邊中點的連線平行于第三邊，且等于第三邊的一半 . 四面體任意三條棱的中點連成的三角 形的面積等于第四個面面積的 14 ,且該三角形所在平面平行于第四個面 . 三角形的任何一條邊上的中線將三角形分成面積相等的兩部分 . 四面體的任何一個三角形面上的一條中線和這個三角形所在平面外一頂點所確定的平面將這個四面體分成體積相等的兩部分． 三角形的三條中線交于一點，且三角形的每一 將四面體的每一個頂點和對面的重心相連 13 （ 7）平面內的正三角形與空間中 的正四面體性質類比： 正三角形（邊長為 a ） 正四面體（棱長為 a ） 正三角形的三邊相等． 正四面體的四個面面積相等，六條棱長相等． 正三角形的三角相等． 正四面體的四個面中任意兩面所成的二面角都相等（注：不為 60 ），各條棱與其相交面所成的線面角都相等，相交的棱的夾角都相等．（注：異面棱垂直） ： m n p q, m n p qa a a a? ? ? ? ? ?(1) 若 則 ： 存 在 m n 2 p , 2m n qa a a? ? ? ?(2) 若 則 ： 以上 均為正整數。 ： ( 1 ) N m n p qm n p q a a a a???若 、 ，且 m + n = p + q ，且 ( 2 ) K在 等 比 數 列 中 ，依 次 每 項 之和仍 為 等 比 數 列 G 是 a、 b 的等比中項 2G =ab（ G≠ 0）。 4 類比思想在數學解題中的體現 運用類比思想對可能的解題方法進行猜測，往往可以得到正確的解題思路，美國著名的數學家 《怎樣解題》中這樣說過：“在求證或求解一個問題時，如果能成果的發現一個類比題，那么這個類比問題可以引導我們達到原問題的解答”。下面通過例子來分 析類比思想在數學解題中的體現： ??7 O 所作的兩條射線 OM、 ON 上分別有點 1M 、 2M 與點 1N 、 2N ，則三 角形面積之比為：21212211 ONONOMOMSSNOMNOM ???? . 若從點 O 所作的不在同一個平面內的三條射線 OP、 OQ 和 OR 上分別有點 1P 、 2P 與點 1Q 、 2Q 和 1R 、 2R ，則類似的結論為： .??8 條中線被該點分成的兩段的比為 2： 1. 接，所得四條線段交于一點，且其中每一條線段被交點分成的兩段的比都是 3： 1 14 分析 在平面中是兩三角形的面積之比，類比到空間應是體積之比。 關于空間問題與平面問題的類比，通常可抓住幾何要素的如下對應關系作對比： 多面體 多邊形； 面 邊 體 積 面 積 ； 二面角 平面角 面 積 線段長； … … 這道題顯然用到了多面體 多邊形；體 積 面 積 ； 即 11NOMS? 111RQPOV? ； 22NOMS? 222 RQPOV? ； 2121 ONONOMOM ? 212121 OROROQOQOPOP ?? ； 故猜想222111RQPORQPOVV??212121 OROROQOQOPOP ??? . 本題主要考查由平面到空間的類 比，要求考生由平面上三角形面積比的結論類比得出空間三棱錐體積比的相應結論。 何中，有勾股定理：“設 ? ABC 的兩邊 AB、 AC 互相垂直，則.222 BCACAB ?? ”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐 ABCD 的三個側面 ABC、 ACD、 ADB 兩兩相互垂直，則 .” ??9 分析 此題依舊是空間問題與平面問題的類比 跟上題所不同的是這道題用到了多 面體 多邊形； 面 邊； 即 ? ABC 三棱錐 ABCD ； AB， AC ADBS? ， ACDS? ， ADBS? ； BC BCDS? . 根據上題的分析，可類比猜測本題的答案： ??2ABCS ??2ACDS ??2ADBS 2BCDS? ? DEF 中 有余弦定理： D F EEFDFEFDFDE ????? c os2222 . 拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱 ABC 111 CBA 的 3 個側面面積與其中兩個側面所成二面角之間的關 15 系式，并予以證明 .??10 分析 根據類比猜想 多面體 多邊形；面 邊； CBAA B C 11 D E F ??? 斜三棱柱即 ； 1 1 1 1 1 1。 。 。A A C C A B B A B CC BD E S D F S E F S? ? ? 得出 ?c o s21111111111 222 BB C CAA B BBB C CAA B BCCAA SSSSS ????. 其中 ? 為側面為 11AABB 與 11BBCC 所成的二面角的平面角 . 證明： 作斜三棱柱 111 CBAABC ? 的直截面 DEF，則 DFE? 為面 11AABB 與面11BBCC 所成角，在 DEF? 中有余弦定理： ?????? c os2222 EFDFEFDFDE ， 同乘以 21AA ，得 ??????????? c o s2 11212212212 AAEFAADFAAEFAADFAADE . 即 ?c o s21111111111 222 BB C CAA B BBB C CAA B BCCAA SSSSS ????. 本題考查由平面三角形的余弦定理到空間斜三棱柱的拓展推廣，因為類比是數學發現的重要源泉。 ： 122 ??yx ， ① 與 1)3( 22 ??? yx ② 則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題要成為所推廣