利用matlab仿真軟件系統進行圖像變換域分析(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 圖 21a svd變換后運行結果 從左至右依次為：原圖像轉換為灰度圖后的圖像，矩陣 U等價的圖像，矩陣 S等價的圖像 圖 21b svd變換后運行結果 從左至右依次為：矩陣 V等價的圖像，矩陣 SM等價的圖像，矩陣 SN等價的圖像 武漢理工大學《 matlab 課程設計》報告 9 圖像的正交分解 正交分解理論知識 實數矩陣 A 的 QR 分解 是把 A 分解為 QRA? （公式 24） 這里的 Q 是 正交矩陣 （意味著 QTQ = 1）而 R 是上 三角矩陣 。類似的，我們可以定義 A 的 QL, RQ 和 LQ 分解。 更一般的說，我們可以因數分解復數 mn 矩陣（有著 m ≥ n）為 mn 酉矩陣 （在 Q? Q = 1的意義上）和 nn 上三角矩陣的乘積。 如果 A 是 非奇異 的，則這個因數分解為是唯一，當我們要求 R 的對角是正數的時候。 程序及運行結果 I=imread(39。 C:\Users\Administrator\Pictures\ 39。)。 II=rgb2gray(I)。 A=im2double(II) [Q,R]=qr(A,0) %對矩陣 A進行經濟型 QR分解 B=Q*R。 subplot(1,3,1)。 imshow(II)。 subplot(1,3,2)。 imshow(Q) subplot(1,3,3)。 imshow(R) 運行結果如圖 23所示，各圖像從左至右依次為原圖像轉換為灰度圖后的圖像，矩陣 Q等價的圖像，矩陣 R 等價的圖像 武漢理工大學《 matlab 課程設計》報告 10 圖 23 對圖像進行正交分解后的顯示窗口 從左至右 ：原始灰度圖，分解后 Q 矩陣代表圖，分解后 R 矩陣代表圖 離散余弦變換理論基礎 離散余弦變換，尤其是它的第二種類型，經常被 信號處理 和 圖像處理 使用，用于對 信號 和 圖像 (包括 靜止圖像 和 運動圖像 )進行 有損數據壓縮 。這是由于離散余弦變換具有很強的 能量集中 特性 :大多數的自然信號 (包括聲音和圖像 )的能量都集中在離散余弦變換后的低頻部分。 離散余弦變換（ Discrete Cosine Transform）的計算速度要比對象為復數的離散傅立葉變換塊得多，并且已經被廣泛應用到圖像壓縮編碼、語音信號處理等眾多領域。 一維離散余弦變換的定義可以用下式表示： (公式 25) ???? 10 )(1)0( Nx xfNF??? ?? 10 2 )1(2c o s)(2)( Nx N uxxfNuF ?武漢理工大學《 matlab 課程設計》報告 11 (公式 26) 式中 )(uF 是第 u 個余弦變換系數， u 是廣義頻率變量， 1,2,1 ?? Nu ? ； )(xf 是時域 N點序列 1,2,1,0 ?? Nx ? 。 (公式 27) 二維離散余弦變換的定義由下式表示： (公式 28) 其中 ),( yxf 為空間域中二維向量， 1,2,1,0, ?? Nyx ? ， ),( vuF 為變換系數矩陣，1,2,1, ?? Nvu ? 。 程序及運行結果 如下編輯 M程序，可得如圖 24所示的經離散余弦變換后的圖像 I=imread(39。C:\Users\Administrator\Pictures\39。)。 S=dct2(II)。 subplot(1,2,1) imshow(I) subplot(1,2,2) imshow(log(abs(S)),[]) %輸出頻譜二維圖像 colormap(jet(64))。 %定義色圖為 HSV變異真彩色圖 運行結果如圖 24 所示，各圖像從左至右依次為原圖像， dct 變換后輸出圖像。 ??? ??? 11 2 )12(c os)(2)0(1)( Nu N uxuFNFNxf ?? ??? ?? ???10 10 2 )12(c o s2 )12(c o s),(2 Nx Ny N vyN uyyxfN ??武漢理工大學《 matlab 課程設計》報告 12 圖 24 dct變換后窗口顯示圖像 從左至右依次為：原始圖像， dct變換后圖像 圖像的 離散傅利葉變換 離散傅利葉變換理論基礎 離散傅立葉變換還有一個明顯的 優點就是具有快速算法，即快速傅立葉算法 (Fast Fourier Transform)，它可以大大減少計算次數，使計算量減少到只是相當于直接使用離散傅立葉變換所用的一小部分。并且，二維離散傅立葉變換很容易從一維的概念推廣得到。在數字圖像處理中，二維離散傅立葉被廣泛的應用于圖像增強、復原、編碼和分類中。 如果為一長度為 N 的數字序列，則其離散傅里葉正變換定義由下式來表示： (公式 29) 二維離散函數 ),( yxf 的傅立葉變換為： ? ? ??? ?????????? 10 2e x p)()()( Nx NuxjxfxfuF ?武漢理工大學《 matlab 課程設計》報告 13 (公式 210) 離散傅里葉變換已成為數字信號處理的重要工具，但是它的計算量較大，運算時間長，在某種程度上限制了它的使用。為了解決這一矛盾，引用了快速傅里葉變換的思想。 快速傅立葉算法以 N 的組成狀況可以分成 N 為 2 的整數冪的算法； N 為高復合數的算法； N 為素數的算法三種情況。這里介紹第一種算法。 令 ? ?NxjWN /2ex p ??? 一維離散傅立葉變換公式變為 (公式 211) xu, 分別為 1,2,1,0 ?N? 。再令 nN 2? ?,2,1,0?n 在此基礎上，將 )(xf 分解成為 )2( xf 和 )12( ?xf 對應的偶數和奇數兩部分， x 的取值范圍由原來的 0 到 1?N 改為 0 到 12?N 。下面我們按照奇偶來將序列 )(nf 進行劃分，設： ??? ?? 10 )()( Nn unNWnfuF ? ??? ?? ?????? 12 0 12 0 )12()2( )12()2(Nn Nn nuNnuN WnfWnf (公式 212) 因此，離散傅立葉變換可以改寫成下面的形式： (公式 213) 因此，一個求 N 點的離散傅立葉變換可以被轉換成為兩個求 點的離散傅立葉變換。 可以進一步寫出 8