帶電粒子在電場和磁場中的運動及電磁力的求解_碩士學位論文(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 條空間拋物線。 重慶師范大學碩士學位論文 2 帶電粒子在電場和磁場中的經典運動 4 空間僅存在磁場 此時， E =0，則 e=0。 由 ()式，帶電粒子的運動方程是 ( 0 ) ( 0 )( ) sin ( 1 c o s )( 0 ) ( 0 )( ) sin ( 1 c o s )( ) ( 0 )xyx t b t b tbbyxY t b t b tbbZ t z t? ? ? ???? ? ? ??????? () 若令 (0) cos ,xb ?? 則 (0) sinyb ?? ,可以證明 22(0 )( ( ) ) ( ( ) ) 1yxx t y tbb? ? ? ?，即在 xy?平面上，帶電粒子的軌跡是圓周運動，則 ()式表示的運動軌跡是螺旋線，螺距為 (0)z ,當 (0)z =0時，運動軌跡是 xy? 平面上的圓周運動 。 電場 E 與磁場 B 同方向 此時， ? =0，則 e=0。 由 ()式，帶電粒子的運動方程是 2( 0 )( ) sin (1 c o s )( 0 )( ) sin (1 c o s )1()2xyx t b t b tbbyxy t b t b tbbqEz t zt tm? ? ? ???? ? ? ???? ???? () 與 ()的分析相同， ()式表達的運動軌跡是螺旋線，螺距是 1(0) 2 qEztm??,隨時間增大。 電場 E 與磁場 B 垂直 此時， 2??? ， qEe m? .可適當取坐標，使得 E 沿 x 方向，則有 ? = ()式，帶電粒子的運動方程是 222( 0 ) ( 0 )( ) sin ( 1 c o s )( 0 ) ( 0 )( ) sin ( 1 c o s )( ) ( 0 )x b y ex t b t b tbbb y e x ey t b t b t b tb b bz t z t?? ? ? ????? ? ? ? ??????? () 重慶師范大學碩士學位論文 2 帶電粒子在電場和磁場中的經典運動 5 當 (0) 0r ? ，軌跡是 xy? 平面內的擺線，周期 22mTb qB????。如圖 ，擺線擺動的方向取決于 b的符號（即粒子的正負），圖 b＜ 0的情況，當 (0)y ≠0， (0)x = (0)z = (0)z =0時（即 E 、 B 、 v 三者垂直）有兩種情況，第一種是 (0)y ≠ EB情況時，軌跡是 xy? 平面內的擺線，周期 22mTb qB????.為了使擺線的方向向右（圖形看起來符合習慣）我們取 b＜ 0＜ (0)y ＜ EB ，是短幅擺線，如圖 （ a）當 EB ＜ (0)y ＜ 2EB ，仍是短幅擺線，與 圖 （ a）不同的是，擺線在 x 軸的下方，如圖 （ b） .當 (0)y =2EB ，是普通擺線，如圖 （ c），擺線的起始位置與圖 不同，當 (0)y ＞ 2EB ，是長幅擺線，如圖 （ d） .第二種是在 (0)y =EB 情況時，軌跡是平面內的直線，這正式質譜儀的原理，如圖 (e). 圖 2. 1 普通擺線 圖 不同條件下的擺線 討論 我們將文獻 [1]中的問題進行了拓展性的討論，發現帶電粒子在相互垂直的電磁場中的運動是一個復雜問題 。 除了在一般教材中討論的直線運動、圓周運動、螺旋運動外，還有以擺線作為軌跡的運動 。 按照條件的不同，擺線的形式也不相同，有一般擺線、短輻擺線和 長輻擺線 。 重慶師范大學碩士學位論文 3 帶電粒子在電場和磁場中的相對論運動 6 3 帶電粒子在電場和磁場中的相對論運動 問題的提出 帶電粒子在均勻電磁場中運動是一個有趣的問題 ,初看起來 ,似乎是帶電粒子會在垂直于磁場的平面內作圓周運動 ,同時沿電場方向作勻加速運動 ,整個運動是這兩種運動的合成。考慮到粒子運動的相對性 ,通過求解帶電粒子在均勻電磁場中的運動方程 ,可以證明實際的運動并非是簡單的兩種運動的合成 ,為了深刻理解發生的原因 ,我們就在四維閔可夫斯基空間 ,對帶電粒子在均勻電磁場中的相對論運動進行求解。 電磁場相對論變換的一種推導 在電磁場相對論變換公式的推導 中 ,常用 3 種方法 :第一 ,由標量φ和矢量 A 的定義 ,引入四維勢矢量 ,建立電磁場張量 ,根據四維二階張量的變換公式導出 。第二 ,由麥克斯韋方程 ,在滿足相對論協變的要求下 ,據微分運算的相對論變換公式導出。第三 ,由洛侖茲公式 ,在滿足相對論協變性的要求下 ,據四維矢量和四維速度矢量的相對論變換公式導出。這三種方法都能導出電磁場矢量 E 和 B 的變換公式 ,但進一步的導出電位移矢量 D 和磁場強度 H 的變換公式有困難且推導過程也很復雜。下面采用一種簡單的方法對 E 和 B 的變換式、 D 和 H 的變換式進行推導。 E 和 B 的變換式的 推導 電磁場由電場強度 E 和磁感應強度 B 描述 ,由麥克斯韋方程組 ,在慣性系 ? 中 ,它們滿足如下方程 : /E B t?? ? ?? ? （ ） 0B?? ? （ ） 寫成分量形式 ,并加以變形有 : / / / 0/ / / 0/ / / 0/ / / 0z y z z xx z z x yy x x y zx x y y zE E B tE E B tE E B tE B B z? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ） 引 入 四 維 矢 量 1 2 3 4( , , , ) ( , , , )uX x x x x x y z ic t??則 有 ， 四 維 矢 量1 , 2 3 , 4( / / , / / )x x x xX ? ? ? ? ? ? ? ? ?四維矢量 0=（ 0， 0， 0， 0） 重慶師范大學碩士學位論文 3 帶電粒子在電場和磁場中的相對論運動 7 以上分量方程可用如下一個矩陣方程表示： 0XT? （ ） 其中 T 是四階矩陣 11 12 13 1421 22 23 2431 32 33 3441 42 43 44T T T TT T T TTT T T TT T T T? （ ） 代入 （ ） 中比較得： 220 / // 0 // / 00yxxyy x zx y zi c E i c E Bi c E i c E BTi c E i c E BB B B?? ????? （ ） 麥克斯韋方程服從相對性原理 ,是洛侖茲協變的 ,在一切慣性系中數學形式不變 ,因此 ,在沿 ox 軸正方向相對于∑以速度 v 勻速運動的慣性系∑′中也有 : 0XT? ? ?? （ ） 其中 1 2 3 4( / , / , / , / )X d d x d d x d d x d d x? ? ? ? ?? 20 / // 0 /0 ( 0 , 0 , 0 , 0 ) / / 00z y xxyy x zx y zi c E i c E Bi c E i c E BT i c E i c E BB B B? ? ??? ? ????? ? ? ??? ? ?? ? ? （ ） 注意到 X 和 0 是四維矢量 XX??? 00??? 代入 （ ） 式中有： 0XT????? （ ） 其中， ? 是洛倫茲變換矩陣 000 1 0 00 0 1 000V i Vi V V????? 221/ 1 /v v c?? /vc?? 重慶師范大學碩士學位論文 3 帶電粒子在電場和磁場中的相對論運動 8 在式 （ ） 的兩邊用 ? 的轉置矩陣 ? 右乘 ,并記住 ?? =I(單位矩陣 ),可得 :和0XT? ? ????? 和 （ ） 式比較有 TT???? 寫成分量式 00V V VTT? ? ???? 考慮到 VVTT???? ，則對各分量的變換關系為： 12 12 24()T V T iBT???? 13 13 34 23 23( ) ,T V T iBT T T? ? ? 14 14TT?? 24 24 12()T v T iBT? ?? 34 31 13()T v T iBT? ?? 將 VT? 代入以上各式，最后將得到 E 和 B 的變換關系為 x y x xE E B B???? 22( ) , ( / )( ) , ( / )y y z y y zz z y z z yE v E V B B v B V c EE v E V B B v B V c E??? ? ? ?? ? ? ? 更一般的形式為 E E B B???? 2( ) ( / )E v E V B B v B V c E? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 式中‖和⊥分別表示與速度 V 平行和垂直的分量。 實際上 ,滿足變換公式 TT???? ,且 VVTT???? 的四階矩陣就是四維二階張量 ,因此 ,我們不僅導出了電磁場矢量 E 和 B 的變換關系 ,而且還知道了 E 和 B 可按矩陣的方式構成一個四維二階反對稱電磁場張量。 D 和 H 的變換式的推導 同樣的方法可導出 D 和 H 的變換 ,推導如下 :在慣性系∑中 ,由麥克斯韋方程組 , D 和 H 滿足如下方程 : /H B t J?? ? ? ? ? D ??? ? 其中 , J 是電流密度 ,? 是電荷體密度。 上面的方程可用如下一個矩陣方程來表示 : 重慶師范大學碩士學位論文 3 帶電粒子在電場和磁場中的相對論運動 9 XF J?? （ ） 其中 , J 是四維電流密度矢量 ,F 是四階矩陣。 0000z y xy x yy x zx y zH H ic DH H ic DF H H ic Dic D ic D ic D????? ? （ ） 在慣性系中，又有： XF J? （ ） , , ,[]x y zJ j j j ic??? 0000z y xy x yy x zx y zH H ic DH H ic DF H H ic Dic D ic D ic D? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? J 和 X 是四維矢量 XX??? （ ） JJ??? （ ） 結合 （ ） （ ） ，并記 ?? =I 可得 FF??? 00vFF? ? ?? ?? ? ?? ? 從而得到 D 和 H 的變換公式是： x x x xD D H H???? 2( / ) ( )y y z y y zD v D v c H H v H v D? ? ? ? 222( / ) ( )y z z yD v D v c H H v H v D??? ? ? ? 寫成更一般的形式為 ： 22( 1 / )( 1 / )()()D D c V HD v D c V HH H V DH H V D? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 注意到 FF??? ,