函數項級數的收斂判別法探究_畢業論文(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ???? ???????? neeeeeex nxxnnxx ?? 于是 nxx eex ???12 在 ???x? 地一致收斂于零，因此存在 N ，當 Nn? 時，對所有? ???? ,?x 有 ??? ???? ???? nnxx eexeex 11 22 這樣當 Nn? 時，對所有 ???x0 ，有 ???? ?????? xnxnkkx eexex 1 22 ，因此級數 ????12nnxex 在???x0 上一致收斂。 定義 1： 設 )(xun ，（ .2,1 ??n ）都是在數集 D 上由定義的函數，若存在一個在 D上由定義的函數 S(x),對任意的 0?? ，存在自然數 N,使得當 nN 時，對一切 Dx? 均有 | )()(1 xsxuk k ????|〈 ? 則稱函數項級數 )(1 xun n???在數集 D 上一致收斂于 S(x). 3 函數項級數一致收斂的判定方法 下面將給出一些判別函數項級數一致收斂的基本方法： 柯西一致收斂準則，維爾斯特拉斯判別法 （ M 判別法），狄利克雷判別法，阿貝爾判別法 以及不常用的方法，例如： 兩邊夾判別法、比較判別法、單調判別法、一致 L 條件判別法、導數判別法、點列判別法這幾方面來介紹函數項級數一致收斂的判別方法 . 常用判別方法 定理 1 （ 柯西 一致 收斂 準則 ） 函數項級數 )(xun? 在數集 D 上一致收斂的充要條件：對任意的正數 ? ，總存在某正整數 N,使得當 nN 時，對一切 x D? 和一切正整數 p,都有 | )()( xsxs npn ?? |? 黃岡師范學院本科學位論文 [第 7 頁，共 15 頁 ] 或 | )()()( 21 xuxuxu pnnn ??? ??? ?|? 判別函數項級數一致收斂性除了根據定義和柯西準則外，有些級數還可以根據級數各項的特征來判定。 例如我們 在數學分析的課本 中 , 也介紹了用阿貝爾判別法和狄利 克雷判別法 掌握 解答級數 的問題 , 以下介紹 級數收斂性理論中阿貝爾判別法和狄利 克雷判別法及魏爾斯特拉斯判別法 : 設函數項級數 )(xun? 定義在數集 D上， ?nM 為收斂的正項級數，若對一切x D? ,有 | )(xun |? nM ， n=1， 2 ,? 則函數項級數 )(xun? 在 D 上 一致收斂 . 證明 ： 假設正項級數 ?nM 收斂，根據數項級數的柯西準則，任給正數 ? ，存在某正整數 N ，使得當 nN 及任何正整數 p,有 | pnn MM ?? ???1 |= ???? ?? pnn MM ?1 又對一切 Dx? 有 | )()(1 xuxu pnn ?? ?? ? | |)(||)(| 1 xuxu pnn ?? ??? ? ????? ?? pnn MM ?1 根據函數項級數一致收斂的柯西準則，級數 )(xun? 在 D 上一致收斂 定理 2 （ 阿貝 爾判別法 ） (1) )(xun? 在區間 I 上一致收斂 。 (2)對于每一個 )}({, xvIx n? 是單調的； (3) )}({ xvn 在 I 上一致有界，即對一切 Ix? 和正整數 n，存在正數 M,使得 ,|)(| Mxvn ? 則級數在 I 上一致收斂。 證明 ：由（ 1），任給 ,0?? 存在某正數 N,使得當 nN 及任何正整數 P，對一切 Ix? ，有 | )()(1 xuxu pnn ?? ?? ? |? XXXXXXX(論文題目 ) [第 8 頁，共 15 頁 ] 又由（ 2）（ 3）及阿貝爾引理得 : .3|))(|2|)((||)()()()(|111 ?Mxvxv xvxuxvxupnnpnpnnn ??? ???????? ? 于是根據函數項級數一致收斂的柯西準則就得到定理的 結論。 定理 3 （余項判別法） 函數項級數 ()nux? 在數集 D 上一致收斂于 ()Sx的充要條件是 : l im s u p | ( ) | l im s u p | ( ) ( ) | 0nnnnx D x DR x S x S x? ? ? ???? ? ?. 定理 4 （ 狄利克雷判別法 ） （ 1） )(xun? 是部分和函數 )()(1 xuxUnk kn ??? (n=1,2 )? 在 I 上一致有 界（ 2）對于每一個 |)(|, xvIx n? 是單調的 （ 3）在 I 上 )(0)( ??? nxv n 則級數在 I 上一致收斂 證明 ： 由（ 1），存在正數 M，對一切 x I? ,有 MxUn ?|)(| .因此當 n,p 為任意 正整數時， 都有 ： .2|)()(||)()(| 1 MxUxUxuxu npnpnn ????? ??? ? 對任何一個 x I? ,再由（ 2）及阿貝爾引理，得到 |)()()()(| 11 xvxuxvxu pnpnnn ???? ?? ? |) .)(|2|)((|2 1 xvxvM pnn ?? ?? 再由（ 3），任給 ? 0,存在正數 N，當 nN 時，對一切 x I? ,由 ,|)(| ??xvn 所 以 ??? MMxvxuxvxu pnpnnn 6)2(2|)()()()(| 11 ????? ???? ? 于是由一致收斂的 柯西準則，級數在 I 上一致收斂 . （注意： 利用狄利克雷判別函數級數一致收斂時， 三個條件 都應滿足 ） 同樣的， 結合數項級數比式判別法和根式判別法 ,可以得到 函數項級數一致收斂性的比式判別法和根式判別法 ,同時我們還 可得到函數項級數一致收斂性的對數判別法 、積分判別法 . 定理 5 （ 比式判別法 ） 黃岡師范學院本科學位論文 [第 9 頁，共 15 頁 ] 設 ()nux為定義在數集 D上的函數列，且 ( ) 0nux? ， n=1,2,……,記 1()()()nn nuxqx ux??， 存在正整數 N及實數 q,M,使得 ( ) 1nq x q??，()Nu x M? ， 對任意的 nN, xD? 成立，則函數項級數1 ()nn ux???在D上一致收斂 . 證明 : 易見 nu (x)= )()( )()( )()( )( 1211 xuxuN xuxu xuxu xu NNnnn n ?? ???? ? = )()()()( 21 xuxqxqxq NNnn ?? ?? ? Mq Nn 1??? 而等比級數 ?????NnNn Mqq 1 當公比 0 q 1 時收斂 ,從而由 M判別法知 ,???1 )(n n xu在 D 上一致收斂 . （極限形式）設 nu (x) 為定義在數集 D 上正的函數列 ,記)( )()( 1 xu xuxq nnn ?? ， 若 1)()(lim ????? qxqxq nn 且 nu (x