現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)分析方法與應(yīng)用概論(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 55 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 二、 分布函數(shù)與密度函數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 56 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 57 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 三、多元變量的獨(dú)立性 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 58 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 59 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 四、隨機(jī)向量的數(shù)字特征 1. 隨機(jī)向量 X的均值 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 60 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 當(dāng) A、 B為常數(shù)矩陣時(shí)，由定義可立即推出如下性質(zhì)： （ 1） E（ AX） =AE（ X） （ 2） E（ AXB） =AE（ X） B 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 61 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 X自協(xié)方差陣 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 62 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 X和 Y的協(xié)差陣 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 63 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 64 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 X的相關(guān)陣 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 65 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心167。 多元分布的基本概念 在數(shù)據(jù)處理時(shí)，為了克服由于指標(biāo)的量綱不同對(duì)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果帶來的影響，往往在使用某種統(tǒng)計(jì)分析方法之前，常需將每個(gè)指標(biāo)“標(biāo)準(zhǔn)化”，即做如下變換 1 / 2/12/() 1 , , ( v a r ) ( , , , )( ) 0 ( ) ( ).1 1jjjjpX E XX j pXX X XE D c orrn?? ? ? ?????????? ? ???XX X X RR X X于 是即 標(biāo) 準(zhǔn) 化 數(shù) 據(jù) 的 協(xié) 差 陣 正 好 是 原 指 標(biāo) 的 相 關(guān) 陣 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 66 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心167。 多元正態(tài)分布 一、 多元正態(tài)分布的定義 二、多元正態(tài)分布的性質(zhì) 三、條件分布和獨(dú)立性 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 67 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心167。 多元正態(tài)分布 多元正態(tài)分布是一元正態(tài)分布的推廣。迄今為止 ,多元分析的主要理論都是建立在多元正態(tài)總體基礎(chǔ)上的 ,多元正態(tài)分布是多元分析的基礎(chǔ)。另一方面，許多實(shí)際問題的分布常是多元正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，或雖本身不是正態(tài)分布，但它的樣本均值近似于多元正態(tài)分布。 本節(jié)將介紹多元正態(tài)分布的定義，并簡(jiǎn)要給出它的基本性質(zhì)。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 68 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心167。 多元正態(tài)分布 一、多元正態(tài)分布的定義 在概率論中已經(jīng)講過，一元正態(tài)分布的密度函數(shù)為： 2221 / 2 1 / 2 11 ( )( ) , 021( ) ( 2 ) e x p [ ( ) ( ) ( ) ] ( 2 . 3 )2xf x ef x x x?????? ? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? ?上 式 可 以 改 寫 成 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 69 ( 1 .2 4 ) )()}()(21ex p {)2(1),( 1/2/12/10ΣμxΣμxΣ????? ?ppxxf??|∑| 為協(xié)差陣 ∑ 的行列式。 定義 ：若 元隨機(jī)向量 的概率密度函數(shù)為： p )39。,( 21 pXXX ??X),(~ ΣμX pN 則稱 遵從 元正態(tài)分布，也稱 X為 元正態(tài)變量。記為 )39。,( 21 pXXX ??X p p167。 多元正態(tài)分布 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 70 定理 μ和 ∑賦于了明確的統(tǒng)計(jì)意義。有關(guān)這個(gè)定理的證明可參見文獻(xiàn) [4]。 多元正態(tài)分布不止定義 ，更廣泛地可采用特征函數(shù)來定義，也可用一切線性組合均為正態(tài)的性質(zhì)來定義等，有關(guān)這些定義的方式參見文獻(xiàn) [4]。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 ：設(shè) 則 ),(~ ??pNX??? )(,)( XDXE ?167。 多元正態(tài)分布 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 71 ]1[2 1),( )2221(21222121)(2121xxexxexxf xx ???? ??? 如果正態(tài)隨機(jī)向量 的協(xié)方差陣∑ 是對(duì)角陣，則 X的各分量是 相互 獨(dú)立的隨機(jī)變量。證明參見文獻(xiàn) [4]。 )39。,( 21 pXXX ??X 容易 驗(yàn)證， ，但 顯然不是正態(tài)分布。 )1,0(~,)1,0(~1 NYNX ),( 21 XX 多元正態(tài)分布隨機(jī)向量 X的任何一個(gè)分量子集的分布（稱為 X的邊緣分布）仍然遵從正態(tài)分布。而反之，若一個(gè)隨機(jī)向量的任何邊緣分布均為正態(tài)，并不能導(dǎo)出它是多元正態(tài)分布。 例如，設(shè) 有分布密度 39。21 ),( XXX ?二、多元正態(tài)分布的性質(zhì) 167。 多元正態(tài)分布 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 72 bA ?? 多元正態(tài)向量 的任意線性變換仍然遵從多元正態(tài)分布。即設(shè) ，而 維隨機(jī)向量 ，其中 是 階的常數(shù)矩陣， 是 維的常向量。則 維隨機(jī)向量 也是正態(tài)的，且 。即 遵從 元態(tài)分布，其均值向量為 ，協(xié)差陣為 。 bAXZ ???1m),(~ 39。AAbANZ m ???39。AA?)39。,( 21 pXXX ??X),(~ ??pNX m )( ijaA?pm? b m m ZZ m167。 多元正態(tài)分布 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 73 ( 1 ) ( 1 )1 1 1 2( 2 ) ( 2 )2 1 2 2 , , ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ?Σ ΣX μX μ ΣΣ ΣX μ 我們希望求給定 的條件分布，即 的分布。下一個(gè)定理指出：正態(tài)分布的條件分布仍為正態(tài)分布。 qqqX ??? 為為其中 11)1()1( ,1, ? )1()2( XX 時(shí))|( )2()1( XX設(shè) p≥2, 將 X、 μ 和 Σ 剖分如下： ),(~ ??pNX三、條件分布和獨(dú)立性 167。 多元正態(tài)分布 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2020/10/5 中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心 74 ( 1 ) ( 2 )1 2 11 2( 1 ) 1 ( 2 ) ( 2 )1 2 12 22111 2 11 12 22 21