高考數學基礎題題庫_立體幾何(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 一條直線垂直于另兩條直線確定的平面 （ ） 解析： 本題是利用直線和平面垂直的定義及判定定理等知識來解答的問題。 解答 : 1．直線與平面平行，則直線與平面內的直線的位置關系不外乎有兩種①平行，②異面，因此應打 2．該命題的關鍵是這無數條直線具有怎樣的位置關系，若為平行，則該命題應打“ √ ”號；若為相交，則該命題應打“ ”號，正是因為這兩種可能同時具備，因此，不說明面內這無數條線的位置關系，則該命題應打“ ”號 3．垂直于三角形兩邊的直線必垂直于三角形所在的平面，由線面垂直定義的逆用，則該直線必垂直于三 角形的第三邊，∴該命題應打“ √ ” 4．前面介紹了兩個命題，①過一點有且只有一個平面與已知直線垂直，②過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，根據第一個命題知：過點 A垂直于直線 a的平面惟一，因此，過點 A且與直線 a垂直的直線都在過點 A且與直線 a垂直的平面內，∴該命題應打“ √ ” 5．三條共點直線兩兩垂直，設為 a， b， c且 a， b， c共點于 O， ∵ a⊥ b， a⊥ c， b∩ c＝ 0，且 c確定一平面，設為α，則 a⊥α， 同理可知 b垂直于由 a， c確定的平面， c垂直于由 a， b確定的平面 ∴該命題應打“ √ ” 點評 :此類問題必須做到：概 念清楚、問題理解透徹、相關知道能靈活運用。 2－ 35： 在空間四邊形 ABCD中，已知 BC＝ AC， AD＝ BD，引 BE⊥ CD， E為垂足， 13 作 AH⊥ BE于 H，求證： AH⊥平面 BCD。 解析： 要證 AH⊥平面 BCD，只須利用直線和平面垂直的判定定理，證 AH垂直于平面 BCD中兩條相交直線即可。 證明 :取 AB中點 F，連結 CF、 DF， ∵ AC＝ BC，∴ CF⊥ AB， 又∵ AD＝ BD，∴ DF⊥ AB，∴ AB⊥平面 CDF， 又 CD? 平面 CDF，∴ CD⊥ AB 又 CD⊥ BE，∴ CD⊥平面 ABE， CD⊥ AH 又 AH⊥ BE，∴ AH⊥平面 BCD。 點評 :證明線面垂直，需轉化為線線垂直，而線線垂直，又可通過證線面垂直來實現。在這里，定義可以雙向使用，即直線 a垂直于平面α內的任何直線，則 a⊥α，反之，若 a⊥α，則 a垂直于平面α內的任何直線。 ：已知 PA⊥⊙ O 所在的平面， AB是⊙ O 的直徑， C 是異于 A、 B 的⊙ O 上任意一點，過 A 作 AE⊥ PC于 E ， 求證： AE⊥平面 PBC。 證明：∵ PA⊥平面 ABC，∴ PA⊥ BC， 又∵ AB是⊙ O 的直徑，∴ BC⊥ AC 而 PA∩ AC＝ A，∴ BC⊥平 面 PAC 又∵ AE? 平面 PAC，∴ BC⊥ AE ∵ PC⊥ AE 且 PC∩ BC＝ C，∴ AE⊥平面 PBC。 233. 如圖： BC 是 Rt△ ABC 的斜邊， AP⊥平面 ABC，連結 PB、 PC，作 PD⊥ BC 于 D，連結AD，則圖中共有直角三角形 _________個。 8 解析： Rt△ PAB、 Rt△ PAC、 Rt△ ABC、 Rt△ ADP。 可證 BC⊥平面 APD，由 BC⊥ AD， BC⊥ PD 可得 Rt△ PBD、 Rt△ PDC、 Rt△ ADB、 Rt△ ADC 共 8 個。 234. 如圖：已知 ABCD 是空間 四邊形， AB＝ AD， CB＝ CD 求證： BD⊥ AC 證明：設 BD 的中點為 K，連結 AK、 CK， ∵ AB＝ AD， K 為 BD 中點 ∴ AK⊥ BD 同理 CK⊥ BD，且 AK∩ KC＝ K ∴ BD⊥平面 AKC ∴ BD 垂直于平面 AKC 內的所有直線 235. 如圖 2－ 40： P 是△ ABC 所在平面外的一點， PA⊥ PB， PB⊥ PC， PC⊥ PA， PH⊥平面 ABC，H 是垂足。 求證： H 是 ABC 的垂心。 A B D C E F H 圖 2－ 35 P A C B E O 圖 2－ 36 C P A D B B C D A 14 證明：∵ PA⊥ PB， PB⊥ PC， ∴ PA⊥平面 PBC， BC? 平面 PBC ∴ BC⊥ PA ∵ PH⊥平面 ABC， BC? 平面 ABC ∴ BC⊥ PH ∴ BC⊥平面 PAH， AH? 平面 PAH ∴ AH⊥ BC，同理 BH⊥ AC， CH⊥ AB， 因此 H 是△ ABC 的垂心。 236. 在正方體 ABCD－ A1B1C1D1中， P 為 DD1中點， O為底面 ABCD 中心， 求證： B1O⊥平面 PAC。 證明：如圖：連結 AB1， CB1，設 AB＝ 1 ∵ AB1＝ CB1＝ 2 ， AO＝ CO，∴ B1O⊥ AC， 連結 PB1，∵ 2321221 ??? BBOBOB 49DBPDPB 2112121 ??? 43222 ??? DOPDOP ∴ 21221 PBOPOB ?? ∴ B1O⊥ PO， ∴ B1O⊥平面 PAC。 237. 正方體各個面所在的平面能將空間分成 m 個部分， m 應等于 （ ） A. 27 B. 21 C. 18 解析： A CDC39。D39。BB39。AA39。如果將正方體各個面延展，可視為將空間A B D C H P A B C D O P A1 B1 C1 D1 15 分成三個層面，上面如圖標出直角的層面，中間一層，下面一 層，而上面一個層面中，又分成九個部分，共 9? 3=27 個部分。 238. 三棱錐 P— ABC 的三條側棱 PA、 PB、 PC兩兩垂直，底面 ABC 上一點 Q 到側面 PAB、側面 PBC、側面 PAC 的距離依次為 2， 3， 6。 求： P、 Q 兩點間的距離。 解析： 如圖，作 QE⊥面 PAB， QM⊥面 PBC， QH⊥面 PAC， E、 M、 N 為垂足。 由 PA、 PB、 PC 兩兩垂直，所以 PC⊥面 PAB， PB⊥面 PAC， PA⊥面 PBC，可得三個側面兩兩垂直。 設平面 QEM 與 PB交于 F，平面 QEH 與 PA 交于 G，平面 MQH 與 PC 交于 N，連接 EF、MF、 GH、 GQ、 NH、 NM，可證明 QMNHEFPG 是長方體。 ∴PQ= = =7。 ：如圖， ABCD 是邊長為 2 的正方形， PC⊥面 ABCD， PC=2， E、 F 是 AB、 AD 中點。 求：點 B 到平面 PEF 的距離。 解析： 由 BD∥EF可證 DB∥平面 PEF，則 點 B到平面 PEF 的距離轉化為直線與平面 PEF 的距離。又由平面 PCA 垂直平面 PEF，故 DB 與 AC 的交點到兩垂直平面的交線的距離為所求距離。 方法一：連接 DB， AC 交于 O 點，設 AC 交 EF 于 G，連 PG， 作 OH⊥PG， H 為垂足。 16 ∵E、 F 是 AB、 AD 中點， ∴EF∥DB， ∴DB∥面 PEF， ∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∴EF⊥AC， ∵PC⊥面 ABCD， ∴EF⊥PC， ∴EF⊥面 PCG， ∵EF? 面 PEF， ∴面 PEF⊥面 PCG， ∵OH⊥PG， ∴OH⊥面 PEF，即 OH 為所求點 B 到平面 PEF 的距離。 由 ABCD 邊 長為 2， ∴AC=2 ， GO= ， GC= ， ∵PC⊥面 ABCD， ∴PC⊥AC， ∴△OHG∽△PCG， ∴ , 由 PC=2， PG= ∴OH= = 即點 B 到平面 PEF 的距離為 。 方法二：如圖，連接 BF、 PB，設點 B 到平面 PEF 的距離為 d， 由 VPBEF= S△BEFPC = BEAFPC = 112= 17 連 AC交 EF 于 G,連 PG,由方法一知 PG= ,EF= ,S△PEF= = ∴VBPEF= S△PEFd=VPBEF= , ∴ d=1 d= 即點 B到平面 PEF的距離為 。 240. 如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1中， E、 F、 G、 H、 L、 M、 N分別是 A1D A1B BC、CD、 DA、 DE、 CL 的中點，（ 1）求證： EF? GF；（ 2）求證： MN//平面 EFGH；（ 3）若 AB=2，求 MN 到平面 EFGH 的距離。 解：（ 1）證：取 B1C1中點 Q，則 GQ? 面 A1B1C1D1，且 EF? FQ，由三垂線定理得 EF? GF； （ 2）在三角形 DEG 中， MN//EG，由此可證 MN//平面 EFGH； （ 3）設所求距離為 h，由 VENGH=VNHEG，得H E GN H G ShSEL ?? ????? 3131，又 41??NHGS，3??EHGS ， EL=2，故 63?h 。 241. 已知點 P 是正方形 ABCD所在的平面外一點， PD? 面 AC， PD=AD=l ，設點 C 到面 PAB的距離為 d1，點 B 到平面 PAC 的距離為 d2，則（ ） （ A） l d1 d2（ B） d1 d2l （ C） d1l d2（ D） d2d1l 解析： ld 221 ?， ld 332 ?，故 d2d1l ，選 D。 ，正方形 ABCD、 ABEF 的邊長都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。點 M 在 AC 上移動，點 N 在 BF 上移動，若CM=BN=a ).20( ??a （ 1）求 MN的長； （ 2）當 a 為何值時， MN的長最小； （ 3）當 MN長最小時，求面 MNA 與面 MNB所成的二面角 ? 的大小。 A FDB ECNMQP 18 解析：（ 1）作 MP∥ AB 交 BC 于點 P， NQ∥ AB 交 BE 于點 Q，連接 PQ，依題意可得 MP∥NQ，且 MP=NQ，即 MNQP 是平行四邊形。∴ MN=PQ,由已知， CM=BN=a,CB=AB=BE=1, ∴ 2?? BFAC ,21,21 aBQaCP ??, 即2aBQCP ??, ∴ ????? 22)1( BQCPPQMN )20(21)2 2()2()21( 222 ??????? aaaa （ 2）由（ 1）知 : 2222 ?? MNa 時，當 ， 的中點時，分別移動到即 BFACNM , 22的長最小，最小值為MN (3)取 MN的中點 G，連接 AG、 BG，∵ AM=AN,BM=BN，∴ AG⊥ MN,BG⊥ MN， ∴∠ AGB即為二面角α的平面角。又 46?? BGAG ，所以由余弦定理有 31464621)46()46(c o s 22 ???????? 。故所求二面角 )3arccos(??? 。 243. 如圖，邊長均為 a 的正方形 ABCD、 ABEF 所在的平面所成的角為 )20( ??? ?? 。點 M 在 AC 上，點 N在 BF 上，若AM=FN ,(1)求證 :MN//面 BCE 。 (2)求證 :MN? AB。 (3)求 MN的最小值 . 解析： (1)如圖 ,作 MG//AB交 BC 于 G, NH//AB交 BE 于 H, MP//BC 交 AB于 P, 連 PN, GH , 易證 MG//NH,且 MG=NH, 故 MGNH 為平行四邊形 ,所以 MN//GH , 故 MN//面 BCE 。 (2)易證 AB? 面 MNP, 故 MN? AB 。 (3) MPN? 即為面 ABCD 與 ABEF 所成二面角的平面角 ,即 ???MPN ,設 AP=x , 則 BP=a－ x , Ｎ P=a－ x , 所以： ?c o s)(2)( 22 xaxxaxMN ????? A B C D E F G H P M N 19 22 )c o s1(21)2)(c o s1(2 aax ?? ?????， 故當 2ax? 時，ＭＮ有最小值 a)cos1(21 ??． ，正方形 ABCD、 ABEF 的邊長都是 1,而且平面ABCD、 ABEF 互相垂直。點 M 在 AC 上移動，點 N 在 BF 上移動，若 CM=x ,BN=y, ).2,0( ?? yx （ 1）求 MN 的長 (用 x,y 表示 )；（ 2）求 MN 長的最小值，該最小值是否是異面直線 AC， BF 之間的距離。 解析： 在面 ABCD中作 MP? AB于 P，連 PN，則 MP? 面 ABEF，所以 MP? PN， PB=1AP= x22在 ? PBN 中，由余弦定理得： PN2= 022 45c o s2)22( xyyx ??? xyyx ??? 2221 ，在 PMNRt? 中， MN= xyyxxPNMP ?????? 22222 2