高考數學_難點突破訓練——數列與數學歸納法含詳解(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 1ln11 ???? ttt 令 f(t)=t1lnt， ∵ ttf 11)( ??? 當 ),1( ???t 時，有 0)( ??tf ，∴函數 f(t)在 ),1( ???t 遞增 ∴ f(t)f(1) 即 t1lnt 另令 tttg 11ln)( ??? ，則有 01)(2 ???? tttg ∴ g(t)在 ),1(?? 上遞增，∴ g(t)g(1)=0 ∴ tt 11ln ?? 綜上得 xxxx 11ln11 ???? （ 2）由（ 1）令 x=1,2,?? (n1)并相加得 112111ln23ln12ln13121 ????????????? nn nn ??? 即得 11211ln13121 ????????? nn ?? 7. (1)易求得 nn pa ? （ 2）nnnn nnnnnpppS aCaCaCnf ??????? ???????? 1 1)21(2121)( 2211 ? 作差比較易得： )(2 1)1( nfppnf ??? （ 3）當 1?n 時，不等 式組顯然成立 . 當 ?????? ??????????? ? 12)11(111)12()2()1(2 nppppnfffn ?時，先證 由（ 2）知 )1()11()1()11()(11)1( 2 fppnfppnfppnf n???????????? ? )2()2 1()()2 1( 1 ?????? ? nppnfpp nn ? ????? ?????? ??????????????????? 1211212122 )21(111211)2 1(121)21()21(21)(ninnnppppppppppppppppif ? 再證 )()12()12()2()1( nfnnfff ?????? ? nnn ppppp pnffnff 212 )(1 1)21(12)12()1(2)12()1( ??????????? ?? 而 2212212 )1(21)(1 nnnnn ppppppp ????????? ?? )(21 1)21)(1(21 1)21(12)1(1)21(12)12()1(2)12()1(2nfppp pppp pppppnffnffnnnnnn????????????????????? 同理： )(2)22()2( nfnff ??? ， )(2)32()3( nfnf ??? ，??， )(2)1()12( nffnf ??? 以上各式相加得： ? ? )()12(2)12()2()1(2 nfnnfff ?????? ? 即 )()12()(121 nfnifni ?????. 8. （ 1） 2 6 3 5 10a a a a? ? ? ?，又 2621aa?? 2637aa ???? ?? 或 2673aa??? ?? 若 2673aa??? ??，則 9nan?? ， 10 1a ?? 與 0na? 矛盾； 若 2637aa??? ??，則 1nan??，顯然 0na? ， ? 1nan?? （ 2） 1 1 1lg 2 lg 3 , 9b S b? ? ? ?， 當 2n? 時， 11 9l g l g 9 10nn n nb S S?? ??? ? ? ? ????，歐 19910nnb???? ? ???? 1n? 時， 19nbb?? ， 199,10nnb n N? ???? ? ? ????? 1 910nnbb??? ?數列是以 9為首項， 910 為公比的等比數列。 （ 3） ? ? 199110nn????? ????，設 ? ?2kck? 是數列 ??nc 中的最大項，則 由 11kkkkcccc????? ?? 可得 89k?? ?數列 ??nc 有最大項，最大項是 789 981 10cc ??? ? ?????。 9. （ 1）由 ,32)3(32)3( 11 ???????? ?? mmasmmmasm nnnn 得 ,3,2)3( 1 ???? ? mmaam nn兩式相減得 ,321 ??? ? m maa nn ∴ ??na 是等比數列。 （ 2） 2,32)(,111 ???????? ? nNnm mmfqab .23,3231113111.3111333223)(23111111????????????????????????????????nbnnbbbbbbbbbbbfbnnnnnnnnnnnnn為公比的等差數列為首項是 10. （Ⅰ）經計算 33?a ， 414?a， 55?a ， 816?a． 當 n 為奇數時， 22 ??? nn aa ，即數列 }{na 的奇數項成等差數列， 122)1(112 ??????? ? nnaa n ； 當 n 為偶數，nn aa 212 ??，即數列 }{na 的偶數項成等比數列， nnn aa )21()21( 122 ???? ?． 因此，數列 }{na 的通項公式為??????)()21()( 2 為偶數為奇數nnna nn ． （Ⅱ） ? nn nb )21()12( ???， nnn nnS )21()12()21()32()21(5)21(3211 132 ?????????????? ?? ??（ 1） 1432 )21()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21 ?????????????? nnn nnS ??（ 2） （ 1）、（ 2）兩式相減， 得 132 )21()12(])21()21()21[(2211 21 ?????????? nnn nS ? 11)21()12(211])21(1[2121 ?? ???????? nnn 1)21()32(23 ????? nn ． nn nS )21()32(3 ?????． 11. 設 {}na 的公差為 d，首項為 1a ，則 3 4 5 6 7 14 18 48T a a a a a d? ? ? ? ? ? ? ? （ 1） 4 8 9 1 5 1... 8 84 0T a a a a d? ? ? ? ? ? ? （ 2） 解得 1 21, 2ad?? ? ，則 2 23nan??。 （ 2）當 2n? 時，在前 n1 組中共有 項數為： 2 2 11 2 2 ... 2 2 1nn??? ? ? ? ? ?。故第 n 組中的第一項是數列 {}na 中的第 12n? 項，且第 n組中共有 12n? 項。 所以11 1 1 2 2 12 12 2 ( 2 1 ) 3 2 2 4 22nn n n n nnT a d?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 當 n=1時， 1121Ta? ?? 也適合上式，故 2 2 13 2 2 4 2nnnT ??? ? ? ?。 （ 3） 8 1 2 8...S T T T? ? ? ?。即數列 {}na 前 8組元素之和，且這 8組總共有項數 2 7 81 2 2 ... 2 2 1 2 5 5? ? ? ? ? ? ?。 則81 112 5 5 2 5 5 2 5 4 2 5 5 ( 2 1 ) 2 5 5 2 5 4 2 5 9 4 1 522S a d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12. （Ⅰ）由 0)12(2 1020203010 ???? SSS 得 ,)(2 1020203010 SSSS ??? 即 ,)(2 20201130222110 aaaaaa ??????? ?? 可得 .)(2 2020112020111010 aaaaaaq ???????? ?? 因為 0?na ，所以 ,12 1010 ?q 解得 21?q ，因而 .,2,1,2111 ???? ? nqaa nnn （Ⅱ）因為 }{na 是首項 211?a、公比 21?q 的等比數列，故 .2,211211)211(21nnnnnnnnSS ??????? 則數列 }{ nnS 的前 n項和 ),22221()21(2 nn nnT ???????? ?? ).22 12221()21(212 132 ??????????? nnn nnnT ??