遼寧石油化工大學概率論與數理統計教案第四章隨機變量的數字特征(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 客在各個車站下車是等可能的并設各旅客是否下車相互獨立）。 解 ： 引入隨機變量???? 站有人下車，在第 站無人下車在第 i1 i,0x i=1,2,?， 10 易知 X=X1+X2+?? +X10，現在來求 E（ X） 按題意，任一旅客在第 i站不下車的概率為 109 ，因此 20位旅客都不在第 i站下車的概率為 20109??????，遼寧石油化工大學 概率論與數理統計教案 在第 i站有人下車的概率為 1— 20109??????，也就是 P{X=0}= 20109??????， P{Xi=1}=1— 20109??????,i=1,2,?， 10 由此， E（ Xi） =1— 20109??????,i=1,2,?， 10 進而 E（ X） = E（ X1+X2+?? +X10） =E（ X1） +E（ X2） +?? +E（ X10） =10 [1— 20109??????]=（次） 本題是將 X分解成數個隨機變量之和，然后利用隨機變量和的數學期望等于隨機變量數學期望之和來求數學期望的，這種處理方法具有一定的普遍意義。 例 12 設一電路中電流 I（ A）與電阻 R（Ω）是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為：? ? ? ? ????? ?????? ???,0,3r0,9rrh,0,1i0,2iig 2其它其它，試求電壓 V=IR 的均值。 解 E（ V） =E（ IR） =E（ I） E（ R） = ???????????? ?? ?????? drrrhdiiig )()( = 2332 30310 2 ????????????? ?? drrdii。 （五） 一些常用分布的數學期望 計算可得一些常用分布的數學期望 1． 0— 1 分布 X 0 1 kP 1－ p p ( ) 0 (1 ) 1E X p p p? ? ? ? ? ? 2． 二項分布 ( , ) ( )X b n p E X np?則 遼寧石油化工大學 概率論與數理統計教案 3． 泊松分布 ~ ( )X ?? ，則 ()EX?? 計算： 10 1 1() ! ( 1 ) ! ( 1 ) !K K KK K KE X K e e e e eK K K? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ?＝ 4． 均勻分布 X～ U[ ,ab]，則 ()2abEX ?? 5． 指數分布 X服從參數為 ? 的指數分布，則 ()EX?? 。計算如下： 0000001( ) ( )()| ( ) |xxxx x xE X x f x dx x e dxxx e d x dex e e dx e???? ? ??????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ??????? 6． 正態分布 X～ 2( , ), ( )N E X? ? ??則 這里計算了一些，沒計算的由學生自己計算。 （六）小結 描述變量的平均值的量 — 數學期望 離散型 —— 若 X ～ ? ?kkP X x p?? 則 ()EX ＝1 kkk xp??? （絕對收斂） 連續型 —— 若 X ～密度函數 ()fx ，則 ()EX ＝ ()xf x dx???? （絕對收斂） 數學期望 ()EX描述隨機變量 X 取值的平 均大小，要掌握數學期望的性質，會計算數學期望，掌握幾種常用分布的數學期望。 (七 ) 課堂練習 P139 1 15。 布置作業 P138 3， 10 遼寧石油化工大學 概率論與數理統計教案 167。 2 方差 教學目的： 使學生理解掌握隨機變量的方差概念及性質，會計算具體分布的方差，熟記常見分布的方差 。 使學生理解掌握方差的性質，能熟練計算具體分布的方差，進一步熟記常見分布的方差。 教學重點、難點 ： 方差的性質、具體分布的方差的計算 。隨機變量的方差概念及性質、具體分布的方差的計算。 教學過程： 上節課，我們研究了隨即變量的重要 數字特征 —— 數學期望。它描述了隨機變量一切可能取值的平均水平。但在一些實際問題中，僅知道平均值是不夠的，因為它有很大的局限性，還不能夠完全反映問題的實質。例如，某廠生產兩類手表，甲類手表日走時誤差均勻分布在 10~10 秒之間；乙類手表日走時誤差均勻分布在 20~20 秒之間，易知其數學期望均為 0，即兩類手表的日走時誤差平均來說都是 0。所以由此并不能比較出哪類手表走得好，但我們從直覺上易得出甲類手表比乙類手表走得較準，這是由于甲的日走時誤差與其平均值偏離度較小，質量穩定。由此可見，我們有必要研究隨機變量取值與其 數學期望值的偏離程度 —— 即方差。 （一） 方差的概念 定義 設 X 是一個隨機變量，若 ? ?2[ ( )]E X E X? 存在，則稱 ? ?2[ ( )]E X E X? 為 X 的方差，記為 ()DX或 ()Var X 。即 ()DX ? ()Var X ? ? ?2[ ( )]E X E X? 。并稱 ()DX 為 X 的 標準差或均方差 。隨機變量 X 的方差表達了 X 的取值與其均值的偏離程度。 按此定義，若 X 是離散型隨機變量，分布律為 ? ? , 1, 2 ,kkP X x p k? ? ?? ,則 21( ) [ ( ) ]kkKD X x E X p????? 若 X 是連續型隨機變量，密度函數為 ()fx，則 2( ) [ ( ) ] ( )D X x E X f x d x??????? 遼寧石油化工大學 概率論與數理統計教案 方差常用下面公式計算： 22( ) ( ) [ ( ) ]D X E X E X?? 事實上 ()DX ? ? ?2[ ( )]E X E X? ? ?222 ( ) ( )E X X E X E X? ? ? 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E X E X E X E X E X E X? ? ? ? ? 例 1 設隨機變量 X 具有數學期望 ()EX?? ，方差 2()DX ?? 0? ， 記 xX ??? ??，則 ( ) 0 , ( ) 1E X D X???? 解 11( ) ( ) [ ( ) ] 0E X E X E X????? ? ? ? ? ?。 2 2 22222( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ]1 [ ( ) ] 1XD X E X E X EEX??????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?） 稱 X? 為 X 的標準化變量。 注意：這里 X 不一定是正態隨機變量。對正態隨機變量，結論也成立。 例 2 設隨機變量 X 具有（ 01）分布，其分布 律為： P{X=0}=1p,P{X=1}=p，求 D（ X）。 解 :E（ X） =0 (1P） +1 p=p ， E（ X2） =02 (1p)+12 p=p D（ X） =E（ X2） [E（ X） ]2=pp2=p(1p) 例 3 設 X~π (λ )，求 D（ X）。 解 : X的分布律為： ， k=1,2,?，λ 0. 上 節例 6 已算得 E（ X） =λ，而 E(X2)=E[X(X1)+X]=E[X(x1)]+E(X)= = 所以方差： D（ X） =E（ X） [E（ X） ]2=λ 由此可知，泊松分布的數學期望與方差相等，都等于參數λ，因為泊松分布只含一個參數λ，只要知道它的數學期望或方差就能完全確定它的分布了。 例 4 設 X~U（ a,b），求 D（ X）。 遼寧石油化工大學 概率論與數理統計教案 解 :X的概率密度為： ()fx 1 ,0,a x bba? ???? ???? 其 它 而2)(