排列、組合與二項式定理(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 排列？什么叫全排列？什么叫重復排列？排列與什么有關？什么叫相同排列？ ? ?1. ,?? 開 封 , 廣 州 , 鄭 州 三 站 之 間 直 達 火 車 票 共 有 3 2= 6 種它 的 設 計 原 理 是 什 么2 . 1 , 2 , 3 ?? 由 數(shù) 字 可 以 組 成 多 少 個 無 重 復 三 位 數(shù) 并 寫 出 所 有的 排 列3 . 8 ,某 段 鐵 路 上 有 個 車 站 共 需 準 備 多 少 種 普 通 客 票 ?答 案 答 案 答 案 答 案 ： 4 5 2 21 1 5 1( 1 ) ? 。 ( 2 ) 3 , . 若 求nnA A A A n?? ? ?： ? ?111 1 1 ( 1) 17 16 15 5 4 , 。 .。 1 ? 若 則 以 上 兩 等 式 成 立 嗎mnn n n nn n n nA n mA A A n A??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?( 2 ) 手 機 由 11 位 數(shù) 字 組 成 , 問 可 有 多 少 個 不 同 手 機 用 戶 ?答 案 答 案 0 2 3 4 5 6 7 8 n!n4. , 階 乘 即 為 全 排 列 階 乘 數(shù) 等 于 正 整 數(shù) 1 到 的 連 乘 積 . 這 個積 叫 的 階 乘 .nn1 2 6 24 120 720 5040 40320（單擊左鍵顯示答案） 第三節(jié) 組 合 一、組合的概念 例 1 飛行在北京 上海 廣州間的民用飛機，有多少種不同的票價？ 從北京、上海、廣州三個站中每次取出兩個站，不管哪一個是起點，票價都是一樣的，所以我們可把它看成是從三個站中每次取出兩個站，不管順序如何，把它們并成一組，共可并成多少種不同的組，就有多少種不同的票價 .因此， 北 京 , 上 海 間 ( 即 北 京 上 海 或 上 海 北 京 )。 北 京 , 廣 州 間( 即 北 京 廣 州 或 廣 州 北 京 )。 廣 州 , 上 海 間 ( 即 廣 州 上 海 或上 海 廣 州 )。??? ? ??解 各 是 一 種 票 價 , 票 價 的 種 數(shù) 共 計 3 種 .這 類 問 題 與 排 列 有 相 似 之 處 , 它 也 是 從 個 不 同 的 元 素 中 每次 取 出 個 不 同 的 元 素 , 但 與 排 列 的 區(qū) 別 是 : 取 出 的 個 元 素 不 是按 順 序 排 成 一 列 , 而 是 不 論 順 序 如 何 并 成 一 組 , 對 于 這 類 問 題 ,給 出 以 下 定 義 .nmm定義 ? ? , , . .( ! )從 個 不 同 的 元 素 中 , 每 次 任 意 取 出 個 不 同 的 元 素m 不 管 順 序 如 何 并 成 一 組 叫 做 從 個 不 同 的 元 素 中 每 次取 出 個 元 素 的 一 個 組 合 所 有 不 同 的 組 合 的 種 數(shù) 記 作組 合 與 順 序 無 關 .mnnmnnmC?:例 如 ( 1 ).。210210 一 個 組 10 個 人 , 從 中 選 取 正 副 組 長 各 1 人 , 共 有 多 少 種不 同 的 選 法 是 排 列 問 題 , 記 作 從 中 選 出 代 表 2 人 去 開 會 , 共有 多 少 種 不 同 的 選 法 , 是 組 合 問 題 , 記 作AC( 2)。 , 。2210 10 有 10 位 同 學 商 定 , 春 節(jié) 時 每 兩 人 要 互 贈 一 張 賀 年 卡 ,互 通 一 次 電 話 , 他 們 共 贈 了 多 少 張 賀 年 卡 , 是 排 列 問 題 , 記 作共 通 了 多 少 次 電 話 是 組 合 問 題 , 記 作AC24( 3 )。, , .24 四 個 字 母 , 每 次 任 取 兩 個 字 母 , 一 個 作 分 子 ,一 個 作 分 母 , 可 以 組 成 多 少 個 不 相 恒 等 的 分 數(shù) , 是 排 列 問 題 ,記 作 而 從 中 任 取 兩 個 作 因 數(shù) 可 以 組 成 多 少 個 不 相 恒 等 的乘 積 是 組 合 問 題 記 作a, b, c , dAC二、組合種數(shù)的計算公式 .從 個 不 同 的 元 素 中 每 次 任 取 個 元 素 的 組 合 與 元 素 的 排 列順 序 無 關 , 所 以 可 以 把 從 n 個 不 同 的 元 素 中 每 次 任 取 m 個 元 素 的排 列 , 看 成 是 先 從 n 個 不 同 的 元 素 中 每 次 取 m 個 元 素 的 組 合 , 再對 任 取 的 m 個 元 素 進 行 全 排 列 的 結 果 , 于 是 , 根 據(jù) 乘 法 原 理 可 有 :mmn n mnmA C A?,:于 是 可 以 得 到 ? ?.1 2 6 mm nnmACA??.:這 就 是 組 合 的 計 算 公 式 這 個 公 式 還 可 寫 成? ? ? ?! 1 2 7!! mnnCm n m???三、組合的兩個性質 性質 1 1( ! , 1 .)2當 用 性 質 較 方 便m n mnnC C m n???證 ? ? ,由 公 式 127 可 得:等 式 左 邊 ? ?!!!mn nC m n m? ? ，等 式 右 邊 : ? ?! .!!nmn nC n m m? ? ?.所 以 有 m n mnnCC ??.7072 計 算 C例 2? ? :由 公 式 127 可 得27272 71 2556217072CC?? ? ??解 性質 2 1 1m m mn n nC C C? ???(!化簡、證明常用性質 2.) 證 ? ? :由 公 式 127 可 得? ? ? ? ? ?1 !!! ! 1 ! 1 !mmnnnnCCm n m m n m?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?1 ! ! 1 !! 1 ! ! 1 !n m n m n n nm n m m n m? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ?? ? 11!! 1 !mnn Cm n m ??????1 1 .所 以 有 m m mn n nC C C? ???9799 .9699 計 算 CC?例 397 3 2 399 99 99 10 010 0 99 98C C C C C ??? ? ? ? ? ???9699 2 1解 平 面 上 有 12 個 點 , 其 中 沒 有 3 點 在 同 一 條 直 線 上 , 問 : (1) 這 些 點 可 以 確 定 多 少 條 不 同 的 直 線 。 (2) 以 這 些 點 中 的 任 意 3 點 為 頂 點 作 一 個 三 角 形 , 一 共 可 以 作多 少 個 三 角 形 ?例 4 (1) 因 為 每 2 點 可 以 確 定 一 條 直 線 , 并 且 沒 有 3 點 在 同一 條 直 線 上 , 所 以 , 在 這 樣 的 直 線 中 , 任 何 兩 條 都 不 重 合 . 因 此 ,所 求 的 直 線 條 數(shù) 就 是 12 個 不 同 元 素 中 取 出 2 個 元 素 的 組 合 數(shù) , 即12 11 6621C????212 條? ? , (2) 因 為 以 每 3 點 為 頂 點 都 可 以 作 一 個 三 角 形 為 什 么 ? 所 以所 求 的 三 角 形 就 是 從 12 個 不 同 元 素 中 取 出 3 個 元 素 的 組 合 數(shù) , 即12 11 103 2 1C?????312 =220 個答 :(1) 可 以 確 定 66 條 直 線 。(2) 可 以 作 220 個 三 角 形 .解 有 20 個 隊 參 加 籃 球 賽 , 比 賽 時 先 分 成 三 組 , 第 一 組 7 個 隊 ,第 二 組 6 個 隊 , 第 三 組 7 個 隊 , 每 組 都 進 行 單 循 環(huán) 賽 ( 即 每 隊 都 要 與本 組 其 他 各 隊 比 賽 一 場 ), 然 后 由 各 組 的 前 兩 名 共 6 個 隊 進 行 單循 環(huán) 賽 , 共 需