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小波分析的基本理論(編輯修改稿)

2026-06-15 03:57 本頁面

　

【文章內容簡介】 ? 只要適當地選擇窗口函數，就可以通過信號的加窗Fourier變換獲得在 2 時間區域內的信息；另一方面，一旦窗口函數取定，其窗口大小也隨之確定，其時頻窗的大小和形狀都就一定了，時間、頻率分辨率也隨之確定。 ? Heisenburg 測不準定理告訴我們，無論是什么樣的窗函數，時窗的寬度與頻窗的寬度之積不小于。因此當選定一窗函數，其頻寬對應于某一頻段。當窗滑動時，同樣大小的時頻窗同時用于高頻和低頻信號。這遠遠不能滿足非平穩信號分析或突變信號處理的要求。 g??21連續（積分）小波變換 ? 在一般信號中，總是包含各種不同的頻率成分。由于頻率與每單位時間的周期數成正比，更好的分析手段是在頻率高時，選一個窄時間窗提高時間分辨率，以分辨信號的高頻細節；而選一個寬的時間窗更充分地分析信號的低頻特性。顯然， STFT不適合分析同時具有很高頻和很低頻成分的信號。為滿足一般信號的時頻分析要求，有必要尋找一種可調時頻窗的分析方法。小波變換正具有這種特性。連續（積分）小波變換 ? 是小波 : ? 對函數伸縮及平移后可得： ? 函數在尺度 a、位置 b的小波變換定義為如下內積 ? dtabttfaabfW ??????? )(*)(21||),)(( ??? ? 0?????? dtt??????? ?? a btaab ?? 1,?0,),()( 2 ??? aRbaRLtf? 積分小波變換提供的時間窗和頻率窗分別為： ? 該時頻窗的特點：由于時間窗寬度為 2 ，因此，若以 ω/a作為頻率變量，當檢測高頻現象時（小的 a），時間窗會自動變窄，提供分辨率高的時間信息；對于低頻信息（大的 a） ,時間窗會自動變寬。在 IWT中與頻率有關的因子 a在小波分析中稱為尺度因子。 ? 小波變換具有時頻局部化特性，究其原因是基函數的支撐與 a有關。當 a小時（高頻），支撐集小；反之，支撐集大。而 STFT的所有基函數具有與原始窗函數相同的支撐寬度。就是因為基函數的這些特點決定了 STFT和 IWT各自的分析能力。其中基函數支撐集的大小決定了其時間分辨率的大小。 ]?*?*[,],[ aaaaabatabat ?????? ???????????? ，??a)},({ ba?? ?)( btge tj ?? 圖小波和的時頻盒。當尺度減小時，時間支撐減小然而頻率支集增加。 su,? 00,su?小波級數與小波變換 ? 法國地理學家 Morlet和數學家 Grossmann證明了 L2空間中的任意函數都可以由它按一組稱為小波函數的分解來表征。下式 f 的級數表示稱為小波級數。 ? 定義 (DWT) ? 因此， f 的第（ j , k )個小波系數由 f 的積分小波變換在具有二進膨脹 ??? Zkj kjzj tctf , , )()( ?)2 1,2)((~, ~, jjkjkj kfWfc ?? ????的離散小波變換關于為 kjkj ff , ?? ??。kba jj 計算給出的二進位置 2/2 ?? ??在小波分析發展初期，如何構造空間 L2（ Rn）的一組小波基是一件相當困難的事情 (構造函數 )。直到八十年代后期，人們才發現了小波構造的一種統一的定式 ,并且從理論上已經證明，幾乎所有 “ 有用 ” （具有適當光滑性）的小波基都可從這種定式構造出來這就是多尺度分析 (MRA ,又稱多分辨率分析 )。與此同時，多尺度分析的數學與物理意義，已遠不只是一種小波構造的 “ 輔助

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