自考高數經管類概率論與數理統計課堂筆記(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 】 （ 2） P（ B）； 【答疑編號： 10010312針對該題提問】 （ 3） P（ A+B）； 【答疑編號： 10010313針對該題提問】 （ 4） P（ AB） 【答疑編號： 10010314針對該題提問】 解：（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 由本例看出， P（ A+B） =P（ A） +P（ B） P（ AB），本例的結果具有普遍性，下面我們不加證明地介紹下面公式： 特別情形： （ 1）如果 A與 B 互斥，即 AB=Φ則 P（ AB） =0 這時 （ 2）因為 A與 有性質 所以 當上面等式中左邊的概率 P（ A）不易求得，而且 A的對立事件 的概率 則較易計算時，便可以通過容易計算的 求 難計算的概率 P（ A）。 例 1若 P（ A） =， P（ A+B） =， P（ AB） =，求 P（ B） 【答疑編號： 10010315針對該題提問】 解：因為 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） P（ AB） ∴P （ B） =P（ A+B） +P（ AB） P（ A） =+= 例 2，袋中有 10件產品，其中有 6件正品， 4件次品，從只任取 3件，求所取 3件中有次品的事件 A的概率。 【答疑編號： 10010316針對該題提問】 解： A表示有次品，它包含有 1件次品，有 2件次品，有 3件次品三類事件，計算比較復雜。 而對立事件 則表示沒有次品 ，即都是正品的事件，比較簡單。 因為基本事件總數 事件 包含的基本事件 加法公式可推廣如下： 例 3， P（ A） =， P（ B） =， P（ C） =， P（ AB） =， P（ AC） =， P（ BC）=0，求 P（ A+B+C）。 【答疑編號： 10010317針對該題提問】 解： （五）概率的減法公式 因為 ，而 ，而 BA與 明顯不相容。 特別地，若 ，則有 AB=A 所以當 例 1 ，已知 P（ B） =， P（ AB） =，求 【答疑編號： 10010318針對該題提問】 解： 例 2，若 A與 B互不相容， P（ A） =， P（ B） =，求 【答疑編號： 10010319針對該題提問】 解：（ 1） P（ A+B） =P（ A） +P（ B） = 根據對偶公式 所以 167。 條件概率 （一）條件概率和乘法公式 符號 叫在事件 B 已經發生的條件下，事件 A發生的概率，叫條件概率 ，需要指出 的是 條件概率 仍是事件 A的概率，但是它有條件，條件是以 B 已經發生為前提，或者 是以 B 已經發生為條件。 例 1，某廠有 200名職工，男、女各占一半，男職工中有 10人是優秀職工，女職工中有 20人是優秀職工，從中任選一名職工。 用 A表示所選職工優秀， B表示所選職工是男職工。 求（ 1） P（ A）； 【答疑編號： 10010401針對該題提問】 （ 2） P（ B）； 【答疑編號： 10010402針對該題提問】 （ 3） P（ AB）； 【答疑編號： 10010403針對該題提問】 （ 4） ； 【答疑編號： 10010404針對該題提問】 解：（ 1） （ 2） （ 3） AB表示所選職工既是優秀職工又是男職工 （ 4） 表示已知所選職工是男職工。在已知所選職工是男職工的條件下，該職工是優秀職工，這時 n=100,r=10 由本例可以看出 事件 A與事件 不是同一事件 ,所以它們的概率不同 ,即 由本例還可看出 , 事件 AB與事件 也不相同， 事件 AB 表示所選職工既是男職工又是優秀職 工，這時基本事件總數 n1=200， r=10。而事件 則表示已知所選職工是男職工， 所以基本事件總數 n2=100， r=10，所以 雖然 P（ AB）與 不相同，但它們有關系，由本例可以看出 本例的結果具有普遍性。下面我們不加證明地給出下面的乘法公式： 顯然有：若 P（ A） 0則有 將上面的結果改寫為整式有 ∴ 公式 叫概率的乘法公式。 例 2，在 10件產品中，有 7件正品， 3件次品，從中每次取出一件（不放回）， A表示第一次取出正品， B表示第二次取出正品，求： （ 1） P（ A）； 【答疑編號： 10010405針對該題提問】 （ 2） ； 【答疑編號： 10010406針對該題提問】 （ 3） P（ AB） 【答疑編號： 10010407針對該題提問】 解（ 1） （ 2） ∴ （ 3） = 例 3，若 P（ AB） =， P（ B） =，求 【答疑 編號： 10010408針對該題提問】 解： 例 4，若 P（ A） =， P（ B） =， ，求 。 【答疑編號： 10010409針對該題提問】 解：（ 1） ∴ （ 2） 例 5，某人壽命為 70歲的概率為 ，壽命為 80歲的概率為 ，若該人現已 70歲時，問他能活到 80歲的概率是多少？ 【答疑編號： 10010410針對該題提 問】 解：用 A表示某人壽命為 70歲， B表示某人壽命為 80 歲。 已知 P（ A） =， P（ B） = 由于 因為 所以，已經活到 70歲的人能活到 80歲的概率為 乘法公式可以推廣為： 例 6，袋中有三件正品，二件次品（ √√√ ）從中每次 取出 1件（不放回）共取 3次，求第 3次才取到次品的事件 B的概率。 【答疑編號： 10010411針對該題提問】 解：用 A1表示第一次取到正品 A2表示第二次取到正品 A3表示第三次取到正品 則 用古典概型計算 P（ A1），這時 n1=5， r1=3 再用古典概型計算 ，這時 n2=4， r2=2 再用古典概型計算 ，這時 n3=3， r3=2 （二）全概公式 定義：若事件組 滿足條件 （ 1） 互不相容 （ 2）在一次試驗中，事件組 中至少發生一個，即 就說事件組 是樣本空間 Ω的一個劃分。 例如事件組 A與 有 所以事件組 是樣本空間的一個劃分。 例如某產品由甲、乙、丙三廠分別生產， A1表示該產品由甲廠生產， A2表示該產品由乙廠生產， A3表示該產品由丙廠生產，則事件組 A1， A2， A3滿足： （ 1） （ 2） 所以事件組 A1， A2， A3是樣本空間的一個劃分。 下面介紹全概公式 設 是樣本空間 Ω的一個劃分， B是一個事件，則有： 【答疑編號： 10010412針對該題提問】 證： ∵ 又 ∵ΩB=B ∵ 互不相容 ∴ 也互不相容 ∴ 用乘法公式上式可改寫為 特別地（ 1）若 是 Ω 的一個劃分，則有 （ 2） ∵ 是 Ω 的一個劃分，所以 全概公式的優點是當 P（ B）不易求而且條件概率容易計算時，可用全概公式求 P（ B） 例 1，袋中有 5個球，其中有 3個紅球， 2個白 球，從中每次取出一個球（不放回）用A表示第一次取到紅球， B表示第二次取到紅球，求 （ 1） P（ A）； 【答疑編號： 10010413針對該題提問】 （ 2） P（ B） 【答疑編號： 10010414針對該題提問】 解：（ 1）用古典概型 n=5,r=3 （ 2）直接求 P（ B）很困難，因為 B發生的概率與事件 A發 生與之有關，用古典概型容易求得： 所以可用全概公式計算 可見第一次，第二次取到紅球的概率相同。 例 2，已知男人中有 5%是色盲，女人中有 1%是色盲，若人群中男女各半。 當在人群中任取一人，問該人是色盲的概率是多少？ 【答疑編號： 10010415針對該題提問】 解：用 B表示該人是色盲者， A表示該人是男人 .直接求 P（ B）比較困難，原因在于該人是色盲的概率與該人的性別有關，但已知 例 3，甲乙兩臺車床加工同一產品，甲車床的次品率為 ，乙車床的次品率為 ，又知甲車床的產量是乙車床產量的兩倍，現將兩臺車床的產品放在一 起，從中任取一件，求該產品是次品的概率。 【答疑編號： 10010416針對該題提問】 解：用 B表示該產品是次品， A表示該產品由甲車床生產 已知 例 4，二門導彈射擊敵機，敵機未被擊中的概率為 ，被擊中一彈的概率為 ,被擊中二彈的概率為 ，若敵機中一彈時被擊落的 概率為 ，敵機中二彈時，被擊落的概率為 。求敵機被擊落的概率。 【答疑編號： 10010417針對該題提問】 解：用 AK表示敵機的被擊中 K彈， K=0,1,2； B表示敵機被擊落 已知 顯然有 其中 A0,A1,A2是 Ω 的一個劃分 （三）逆概公式（貝葉斯公式） 由 可得 公式 叫逆概公式（ 貝葉斯公式） 當 P（ A） ,P（ B）， 已知時，可反過來求 。 例 5，某地七月份下暴雨的概率為 ，當下暴雨時，有水量的概率為 ；當不下暴雨時，有水量的概率為 ，求： （ 1）該地七月份有水災的概率 . 【答疑編號： 10010501針對該題提問】 （ 2）當該地七月份已發生水災時 ，下暴雨的概率 . 【答疑編號： 10010502針對該題提問】 解：用 B表示該地七月有水災； A表示該地七月下暴雨 已知 （ 1） （ 2） 例 6，某種產品分別由甲、乙、丙三廠生產，甲廠產量占 50%，次品率為 ，乙廠產量占 30%，次品率為 ，丙廠產量占 20%，次品率為 ，求： （ 1）該產品的次品率 【答疑編號： 10010503針對該題提問】 （ 2）若任取一件，該件是次品，求這件次品分別是甲廠、乙廠、丙廠的產品的概率。 【答疑編號： 10010504針對該題提問】 解：用 B表示產品是次品， A1表示甲廠的產品， A2表示乙廠的產品， A3表示丙廠的產品。 所以 表示 已知產品甲廠產品時，該產品是次品 表示已知產品是乙廠產品時，該產品是次品。 表示已知該產品是丙廠產品時，該產品是次品。 則表示已知產品是次品時，它是甲廠產品； 則表示已知產品是次品時，它是乙廠產品； 則表示已知產品是次品時，它是丙廠產品； ∴ （ 1） （ 2） 可見，若該產品 是次品，則此次品是丙廠產品的可能性最大。 例 7，甲袋中有 3個白球， 2個紅球，乙袋中有 2個白球， 3個紅球，先從甲袋中取一個球放入乙袋，再從乙袋中取一個球，求： （ 1）從乙袋中取出的球是白球的概率； 【答疑編號： 10010505針對該題提問】 （ 2）如果從乙袋中取出的球 是白球，則這時從甲袋中取出白球的概率是多少？從甲袋中取出紅球的概率是多少？ 【答疑編號： 10010506針對該題提問】 解：用 B表示從乙袋中取出白球； A表示從甲袋中取出白球，所以 表示從甲袋中取出紅球。 已知 （ 1） （ 2） 可見從甲袋中取出白球的可能性大。 例 8，已知 ， 求（ 1） P（ AB）； 【答疑編號： 10010507針對該題提問】 （ 2） 【答疑編號： 10010508針對該題提問】 解：（ 1） （ 2） 例 9，若 ； 求（ 1） P（ B）； 【答疑編號： 10010509針對該題提問】 （ 2） P（ A+B） 【答疑編號： 10010510針對該題提問】 解：（ 1） （ 2） （ 3） 例 10，已知 ；求 【答疑編號： 10010511針對該題提問】 解：（ 1） （ 2） （ 3） 167。 事件的獨立性