大數(shù)定理與正態(tài)分布(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 拐點 隨機變量 X 落在 ? ????? 3,3 ?? 之外的概率小于 3‰ 。 通常認為這一概率很小，根據(jù)小概率事件的實際不可能性 原理，我們常把區(qū)間 ? ????? 3,3 ?? 看作是隨機變量 X 的 實際可能的取值區(qū)間這一原理叫做 三倍標準差原理 （或 3σ 法則 ）。 第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 例題 1113（ 2021， 4分） .2)(。1)(。423)(。432)(,)0,0(,0),(0),()(]3,1[)()(2121?????????????????baDbaCbaBbaAbabaxxbfxxafxfxfxf）應滿足（則若均勻分布的概率密度，上的為密度，為標準正態(tài)分布的概率設1)()(,031,41)(,21)()(,0)(2212???????????????????dxxfxfxxfexxfxfx所以滿足規(guī)范性：是密度函數(shù)，因為。其它由題設：分析，顯然??第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 ??? ???????? ??? 0 20 1 )()()(1 dxxbfdxxafdxxf即：代入規(guī)范性取值區(qū)間根據(jù)由已知 xbaxxbfxxafxf ,)0,0(,0),(0),()(21????????,1432143214202300222??????? ?????????babdxeadxbdxeaxx??)(,432 Aba 選答案故： ??二、正態(tài)分布的數(shù)字特征 ? ????? dxxxfXE )()(義：根據(jù)數(shù)學期望即均值定代入公式－的密度函數(shù)將正態(tài)分布021)(),( 222)(2?????????????? ??xexfNxdxxeXEx? ???? ??? 222)(21)( ? ??????? xtdtet t? ???? ?? 22)(21 ???????? ＝dttedte tt ?? ???? ????? ? ??? 2222 221分，后者為奇函數(shù)對稱積）（前者為區(qū)間積分加倍且分為零，而偶函數(shù)對稱注意奇函數(shù)對稱區(qū)間積?? ????第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 ? ? 將正態(tài)分布密度代入由方差定義 ? ???? ?? dxxfXExXD )()()( 2 dxexXDx? ?? ?? ???? 222)(2)(21)( ? ???????? xtdtet t? ???? ? 22222 ??),(~ 2??NX021)( 22 2)( ??????????? ????xexfx??)( XE ? ? ? ?????? ?? dxxfXExXkk )()(?由中心矩公式是偶函數(shù)dtet t? ?? ??0222222?? stesdtest ??? ??2,22122 2則令22202120212)21(212)23(222222)( ????????? ????? ?? ?? ??? ????dsesdsessXD ss第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 dxexXxkk ?????? ??? 222)()(21)( ? ????????? xtdtet tkk? ???? ? 222 ??若 k 為偶數(shù)， ?????? ??212 2 kkk??? ??,6,4,2!)!1( ??? kk k?22tz?dzzekkzk? ?? ??02122??若 k 為奇數(shù)，奇函數(shù)對稱積分 ??,5,3,10 ?? kk?則： dtettkkk ??? ??02222???的一切奇數(shù)的階乘到表示從注意 1!)!1( ?? kk 1第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 例題 1121(87,數(shù)學一） ._ _ _ _ _ _ _ _)(_ _ _ _ _ ,)(,1)( 122??? ???xDxEexfX xx 則的概率密度為已知?度恒等變形為正態(tài)分布密解：將 X 22 2)(21)( ??????? xexf222 )212(121221211)(－＋－＝xxxx eexf??????21)(,1)(),21,1(~ 2 ???? ?? xDxENX 其中：則22)212()1(2121???xe?第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 例題 1122（ 2021， 4分） ._ _ _ _ _ _)()(),21()()(???????XExxxxFX函數(shù)，則為標準正態(tài)分布的分布其中的分布函數(shù)為設隨機變量]21[21)21()()()(),(的復合函數(shù)是注意由密度與分布的關系：的密度為分析：設xxxxxFxfxfX??????? ????? ???????????? ???? dxxxdxxxdxxxfEX )2 1()()( ??故只要積第二個即可，為為奇函數(shù)對稱區(qū)間積分是偶函數(shù)，注意到 0)()( xxx ??? ?? ???? ???????? ????? dttdtttdtttEX )()()()12( ???)()(700 ??????? ? ???? dtt?.二維隨機變量 ( X,Y ) 的正態(tài)分布概率密度表示如下： ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????????? ??????????22 22 22121 2121, yyyxyxxx yyxrxryxeryxf ???????????其中，參數(shù) 及 分別是隨機變量 X 及 Y 的數(shù) 學期望， x? y?及 分別是它們的標準差， x? y?參數(shù) 參數(shù) r 是它們的相關系數(shù)。 三、二維正態(tài)分布 根據(jù)二維分布密度函數(shù)定義 ??????? ? ??? ?? yxd u d vvufyxF y x ,),(),(第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 ?? ?? ???? ?? ??? ???? dxyxfyfdyyxfxxFxf YX ),()(),(),()( ，則：（若： ),(~),~ 22 yyxx NYNX ????? ?? ??????? dyerxfyxgyxX,2121)(???222)(21 xxxxe ???????? ?.,~ 2xxX ??即：?????? ???????? 22222)())((2)()1(21),(yyyxyxxx yyxrxryxg ????????其中：222)(21),()( yyxYY edxyxfyf???????????? ?同理),(~ 2YYNY ??).,(),(),(2222YYXXYXYXNNrN????????，分別為分布都是一維正態(tài)分布的兩個邊際因此，二維正態(tài)分布推導繁瑣略）(第十一講 大數(shù)定理與正態(tài)分布 .)(,)(,)(,)(),(2222YXYXYXYXYDXDYExErN????????????中二維正態(tài)分布1 2 7.),(。),c o v (),(),(),(22PrYXRrYXYXRYXC o vrNYXYXYX可參考相關教