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機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)課程設(shè)計(jì)(編輯修改稿)

2026-07-12 05:16 本頁(yè)面

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 B 為沿 x1 軸方向上的兩個(gè)極小值點(diǎn)，分別處于等值線與 x1 軸方向的切點(diǎn)上，如圖 416 所示。根據(jù)上述分析，則 A、 B 兩點(diǎn)的連線AB 就是與 x1 軸一起對(duì) G 共軛的方向。沿此共軛方向進(jìn)行一維搜索就可以找到函數(shù) f(x)的極小值點(diǎn) x*。 2）基本算法現(xiàn)在針對(duì)二維情況來(lái)描述鮑威爾的基本算法，如圖 417 所示。任選一初始點(diǎn) x0，再選兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，如坐標(biāo)軸單位向量 e1=[ 1 0]T和 e2=[0 1]T作為初始搜索方向。從 x0 出發(fā)，順次沿 e e 2 作一維搜索得點(diǎn) x x20，兩點(diǎn)連線得一新方向 dl= x20－ x10 用 dl代替 e1 形成兩個(gè)線性無(wú)關(guān)向量 e dl，作為下一輪迭代的搜索方向。再?gòu)?x20 出發(fā)，沿 dl作一維搜索得點(diǎn) x01，作為下一輪迭代的初始點(diǎn)。從 x1 出發(fā)，順次沿 e d1 作一維搜索，得到點(diǎn) x1 x21，兩點(diǎn)連線得一新方向 d2= x21－ x01 x0 x21 兩點(diǎn)是從不同點(diǎn) x0、 x11 出發(fā)，分別沿 d1 方向進(jìn)行一維搜索而得的極小點(diǎn)，所以x0 x21 兩點(diǎn)連線的方向 d2 同 d1 一同對(duì) G 共軛。再?gòu)?x21 出發(fā)，沿 d2 作一維搜索得點(diǎn) x2 。因?yàn)?x2 相當(dāng)于從 x0 出發(fā)分別沿 G 的兩個(gè)共軛方向 d d2 進(jìn)行兩次一維搜索而得到的點(diǎn)，所以 x2 點(diǎn)即是二維問(wèn)題的極小值點(diǎn) x* 3)改進(jìn)算法的基本步驟如下： ①給定初始點(diǎn) x0（記作 x00），選取初始方向組，它由 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量 d10,d20,…， dn0(如n 個(gè)坐標(biāo)軸單位向量 e1,e2,…,en)所組成，置 k← 0 。 ②從 x0k出發(fā)，順次沿 d1k， d2k， …,dnk作一維搜索得 x1k,x2k,…xnk，接著以 xnk為起點(diǎn)，沿方向 dkn+1=xnkx0k 移動(dòng)一個(gè) xnkx0k的距離，得到 xn+1k=xnk+(xnkx0k)=2xnkx0k x0k、 xnk、 xn+1k分別稱(chēng)為一輪迭代的始點(diǎn)、終點(diǎn)和反射點(diǎn)。始點(diǎn)、終點(diǎn)和反射點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別表示為 F0=f(x0k) F2=f(xnk) F3=f(xn+1k) 同時(shí)計(jì)算各中間點(diǎn)處的函數(shù)值，并記為 fi=f(xik)(i=0,1,2,…,n) 因此有 F0=f0， F2=fn 。計(jì)算 n 個(gè)函數(shù)值之差 f0f1, f1f2,…, fn1fn 。記作 △ i=fi1fi(i=1,2,…,n) 其中最大者記為 △ m=max△ i= fm1fm 根據(jù)是否滿足判定條件 F3＜ F0 和（ F02F2+F3）（ F0F2△ m） 2＜ △ m（ F0F3） 2 來(lái)確定是否要對(duì)原方向組進(jìn)行替換。若不滿足判別條件，則下輪迭代仍用原方向組，并以 xnk、 xn+1k中函數(shù)值小者作為下輪迭代的始點(diǎn)。若滿足上述判別條件，則下輪迭代應(yīng)對(duì)原方向組進(jìn)行替換，將 dn+1k補(bǔ)充到原方向組的最后位置，而除掉 dmk 。即新方向組為 d1k， d2k， …,dm1k,dm+1k,…,dnk， dn+1k作為下輪迭代的搜索方向。下輪迭代的始點(diǎn)取為沿 dn+1k方向進(jìn)行一維搜索的極小點(diǎn) x0k+1。判斷是否滿足收斂準(zhǔn)則。若滿足則取 x0k+1 為極小點(diǎn)，否則應(yīng)置 k← k+1，返回 2，繼續(xù)進(jìn)行下一輪迭代。這樣重復(fù)迭代的結(jié)果，后面加進(jìn)去的向量都彼此對(duì) G 共軛，經(jīng) n 輪迭代即可得到一個(gè)由 n個(gè)共軛方向所組成的方向組。對(duì)于 2 次函數(shù)，最多不超過(guò) n 次就可以找到極小點(diǎn)，而對(duì)于一般函數(shù)，往往要超過(guò) n 次才能找到極小點(diǎn)（這里的“ n”表示設(shè)計(jì)空間的維數(shù)）。改進(jìn)后的鮑威爾法程序框圖如下開(kāi)始給定 x0、 ε x00← x0。di0← ei K← 0 i← 1 xik← xi－ 1k+α ikdik α ik:minf(xi－ 1k+α dik) △ i← f(xi－ 1k) － f(xik) i=n? i← i+1 是否 xn+1k← xnk－ x0k xn+1k← 2xnk－ x0k F0← f(x0k) F2← f(xnk) F3← f(xn+1k) △ i← max △ i 判別條件是否滿足？ F2＜ F3 ||xnk← x0k||＜ε ? x0k+1← xnk x0k+1← xn+1k x0k+1← xnk+α n+1kdn+1k α n+1k:minf(xnk+α dn+1k) dik+1← di+1k(i=m,m+1,…,n) dik+1← di+1k(i=1,2,…,m－

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