33b樣條曲線與曲面(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 ?kjP B樣條曲線的deBoor算法的幾何意義清華大學 計算機圖形學 節(jié)點插入算法 ? 通過插入節(jié)點可以進一步改善 B樣條曲線的局部性質(zhì) ， 提高 B樣條曲線的形狀控制的靈活性 ， 可以實現(xiàn)對曲線的分割等 。 – 插入一個節(jié)點 在定義域某個節(jié)點區(qū)間 內(nèi)插入一個節(jié)點 t，得到新的節(jié)點矢量： 重新編號成為 ? ?1, ?ii tt? ?1 11 21 111101 ,, 1 ????? kniii ttttttT ??? ?knii ttttttT ??? ,, 1101 ??清華大學 計算機圖形學 這個新的節(jié)點矢量 U1決定了一組新的 B樣條基 原始的 B樣條曲線就可以用這組新的 B樣條基與未知新頂點 表示 1iP????101,1)()(njkj tNPtP j清華大學 計算機圖形學 ? Boehm給出了這些未知新頂點的計算公式 ? r 表示所插結(jié)點 t在原始節(jié)點矢量 T中的重復度。 ???????????????????????1,1 ,2 ,)1(1,1,0 ,11111nrijPPrikijPPPkijPPjjjjjjjjj?????jkjjj tttt????? 1?清華大學 計算機圖形學 1?? kiP2?? kiP3?? kiP1?iPiP12?? kiP13?? kiP1iP? ?圖3 .1. 30 實線框中k個 新頂點 取代虛 線框中k1個原始頂點0P1P2P3P11P12P13P1t2t3t4t5t6tt圖3 .1. 31 三次B樣 條曲線插入一個節(jié)點 ],[ 43 ttt ?清華大學 計算機圖形學 0P1P2P3P11P1t2t3t4t5t6tt圖3 .1. 32 三次B樣 條曲線插入一個節(jié)點 )(32ttt ??清華大學 計算機圖形學 B樣條曲面 ? 給定參數(shù)軸 u和 v的節(jié)點矢量 p q階 B樣條曲面 定義如下 ],[ 10 pmuuuU ?? ?],[ 10 qnvvvV ?? ?? ?? ??minjqjpiij vNuNPvuP0 0, )()(),(清華大學 計算機圖形學 構(gòu)成一張控制網(wǎng)格，稱為 B樣條曲面的特征網(wǎng)格 。 和 是 B樣條基，分別由節(jié)點矢量 U和 V按 deBoorCox遞推公式?jīng)Q定。 )(, uN pi )(, vN qjijP清華大學 計算機圖形學 00P10P20P30P01P11P21P31P02P22P12P32P03P23P33P 雙 三次B樣條 曲面片清華大學 計算機圖形學 NURBS曲線與曲面 ? B樣條曲線包括其特例的 Bezier曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲線， B樣條曲面包括其特例的 Bezier曲面都不能精確表示出拋物面外的二次曲面，而只能給出近似表示。 ? 提出 NURBS方法，即 非均勻有理 B樣條 方法主要是為了找到與描述自由型曲線曲面的 B樣條方法既相統(tǒng)一、又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學方法。 清華大學 計算機圖形學 – NURBS太過復雜，常令人望洋興嘆 – NURBS Book， 走向?qū)嵱没? (見下頁 ) 清華大學 計算機圖形學 Some years ago a few researchers joked about NURBS, saying that the acronym really stands for NOBODY Understands Rational BSplines, write the authors in their foreword。 they formulate the aim of changing NURBS to EURBS, that is, Everybody.… There is no doubt that they have achieved this goal.... I highly remend the book to anyone who is interested in a detailed description of NURBS. It is extremely helpful for students, teachers and designers of geometric modeling systems. Helmut Pottmann 清華大學 計算機圖形學 ? NURBS方法的主要優(yōu)點 – 既為標準解析形狀 (即前面提到的初等曲線曲面 )，又為自由型曲線曲面的精確表示與設計提供了一個公共的數(shù)學形式 清華大學 計算機圖形學 ? B樣條曲線包括其特例的 Bezier曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲線， B樣條曲面包括其特例的 Bezier曲面都不能精確表示出拋物面外的二次曲面，而只能給出近似表示。 ? 提出 NURBS方法，即 非均勻有理 B樣條 方法主要是為了找到與描述自由型曲線曲面的 B樣條方法既相統(tǒng)一、又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學方法。 清華大學 計算機圖形學 ? 兩類研究問題 – 逼近問題：圓弧的 Bezier曲線逼近，挪威Oslo學派的工作 – 精