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[工學]第三章參數點估計(編輯修改稿)

2026-01-31 21:46 本頁面

　

【文章內容簡介】評價 . 通常一個好的估計量其觀測值應在待估計參數的真值附近波動 , 且波動的幅度越小越好 , 即要使估計量與待估計參數在某種統計意義下非常“接近” . 常用的幾條標準是： 1．無偏性 2．有效性 3．相合性這里我們重點介紹前面兩個標準 . 第 2節估計量的評選標準而它的期望值等于未知參數的真值 . 則稱為的無偏估計 . 設是未知參數的估計量，若 . 真值 1．無偏性估計量是隨機變量，對于不同的樣本值會得到不同的估計值 . 我們希望估計值在未知參數真值附近擺動，這個標準 . 這就導致無偏性定義無偏性的意義是：用來估計時無系統偏差。則稱是的漸近無偏估計量 . 例如設總體 X的數學期望 μ 存在，是 X的樣本，求證均為 μ 的無偏估計。為 σ 2 的無偏估計量不是 σ 2 的無偏估計量用 S2來估計 σ 2有系統偏差。例：由大數定律知一致性說明：對于大子樣，由一次抽樣得到的估計量的值可作 θ 的近似值 3. 有效性 : 都是的無偏估計量；若則稱較有效 . 設最小方差無偏估計定義 : ? ,?( ) ( ) ,? , .Va r Va rUMVUE? ? ??? ? ???? ? ? ?設是的一個無偏估計量若對于的任一方差存在的無偏估計量都有則稱是的一致最小方差無偏估計記為Problem：無偏估計的方差是否可以任意小 ? 如果不能任意小 ,那么它的下界是什么 ? 2l n ( 。 )( 4 ) ( )xfE ???? 存在 Fisher信息量的定義 . ( 2 ) { | ( 。 ) 0 } 。S x f x ????支撐與無關( 。 )( 3 )( 。 )( 。 )fxfxf x dx dx???????? ? ? ?? ? ? ?????????存在且對中一切有羅克拉美（ Cramer–Rao ）不等式 (1)?是實數軸上的一個開區間。設總體 X 的概率函數為 f(x。? ),???,且滿足條件 : 2l n ( 。 )( ) ( )d e f fI xE ?????? F i s稱為 her總體分布的信息量 .正則條件注： I(?)的另一表達式為 2222l n ( 。 ) ( 。 )( ) ( ) , (f x f xIE ??????????? 存在 , 滿足正則條件 ) 設總體 X 的概率函數為 f(x 。? ),???, 滿足上面定義條件；x1,….,x n 是來自總體 X的一個樣本 , T(x1,….,x n ) 是 g(? )的一個無偏估計 . ??且對中一切有()() gg ????? ?? 存在 ,定理 (CramerRao不等式 ): 1 2 11( ) ( , , , ) ( 。 )nn i nig T x x x f x d x d x??? ? ? ?? ? ? ? ?? ???的微分可在積分號下進行，即 1 2 1111211( ) ( , , , )( , ,( ( 。 ) )[ l n( ( 。 ) ) ] ( ),) 。niinniiininnng T x x x dx dxT x x x dxf dxfxf x x? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????????????????則有 2[ ( ) ]()()gV a r TnI????1()()V a r T nI ??上述不等式的右端稱為 CR下界 , I(?) 為 Fisher信息量 . 特別地對 θ 的無偏估計有注 : (1) 定理對離散型總體也適用 .只需改積分號為求和號。 (2) 在定理條件下 , 若 g(? ) 的無偏估

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