量子力學(xué)中科大課件q9講稿第九章電磁作用分析和重要應(yīng)用(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 裂總數(shù)為 2(2l+1)(對(duì)每一個(gè) m 值存在 ??177。E 兩個(gè)能量值，不同 m 值有 2l+1 個(gè) )。 ※ 167。 均勻磁場(chǎng) 下 中 子 自由 飛行 1, 中子極化矢量在磁場(chǎng)中的進(jìn)動(dòng)。 中子自旋為 1/2,并有一反常磁矩 n? ? ??? ， ? ?? 核磁子。于是，磁場(chǎng)中自由中子 Hamilton 量 H（不計(jì)動(dòng)能部分）為 nH B B? ? ?? ? ? ? ? () 設(shè)中子的自旋態(tài)為 |λ，則中子極化矢量的運(yùn)動(dòng)方程為 dP dd t d t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 ,H H Hi i i? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 216 由于等式 ? ?,2A i A? ? ???? ? ??? ，現(xiàn)在矢量 nAB?? ，即得 P? 在磁場(chǎng)中的進(jìn)動(dòng)方程 ? ?LBdP ePdt? ???? () 這里 2LnB???是 Larmor 進(jìn)動(dòng) 的 頻率，B Be B?為磁場(chǎng)方向的單位矢量．由這個(gè)方程可知， 中子極化矢量 P? 將繞磁場(chǎng)方向作右手進(jìn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，其進(jìn)動(dòng)頻率為 Larmor 頻率。 2, 旋量疊加與旋量干涉。 中子干涉量度學(xué)（ Neutron Interferometry） 1。 討論中子通過(guò)板 狀均勻磁場(chǎng)的問(wèn)題。這時(shí) 22 nHB???? ? ? ? ? () 設(shè) ? ?,insr?和 ? ?,outsr?分別代表射入和透出板狀磁場(chǎng)時(shí)中子的 狀態(tài)矢量。若不記板狀磁場(chǎng)界面上中子波反射損失， 則 態(tài)矢模長(zhǎng)不變， 得 2ex p ( )2i Ho u t i n n i nieB?? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ????? 由于 H 的空間部分和自旋部分可交換，可以將態(tài)矢的空間部分分離掉，得到自旋部分為 ? ? ( ) ex p ( )2ni Bi n i no u t is e s s? ? ?? ? ? ? ??? ??? ? ? ????? （ ） 這里 LBe? ??? ， τ為中子在板狀磁場(chǎng)中穿行的時(shí)間，于是 ρ即為在磁場(chǎng)期間中子極化矢量進(jìn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的總角度。利用前一章中有關(guān)公式，上 1 Neutron Interferometry, edited by U. Bonse and H. Rauch, Clarendon, Oxford, 1979。 H. Rauch, ., Physics Letters, 54A, No. 6, 425 (1975)。 J. Summhammer, ., Phys. Rev. A, Vol. 27, 2523 (1983)。 217 式即為 ? ? 11co s ( ) s i n ( )( ) ( )22L L B i no u ts i e s? ? ? ? ? ? ???? ? ????? 值得注意的是這里的表達(dá)式中有個(gè) 1/2 因子。在自旋態(tài)矢如上變化的同時(shí)，極化矢量 P 的變化可如下求得。因?yàn)? ? ? ? ?( ) , ( )i n i n o u t o u ti n o u tP s s P s s? ? ? ? ? ??? () 可以證明，在 outP 和 inP 之間，由一個(gè)三維空間轉(zhuǎn)動(dòng)相聯(lián)系 ( , )ou t B inP R e P?? () 這里 ( , )BRe? 表示繞 Be 方向轉(zhuǎn)過(guò) ? 角的空間轉(zhuǎn)動(dòng)變換，是一個(gè) 33? 的正交矩陣。 證明 1: 利用群論中常見(jiàn)的公式 ? ? ? ? ? ?1n r n n rU e e U e R e e? ? ? ? ??? ? ? 這里 ? ?nUe? 是繞 ne 方向轉(zhuǎn) ? 角的任一 ? ?2SU 轉(zhuǎn)動(dòng)， ? ?nRe? 是與其相應(yīng)的三維空間轉(zhuǎn)動(dòng)。 re 為任一矢量。于是可得 ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2222111()()()()iiou t r in riniir ininr ininin rinin r in rP e s e e s es e e e ss R e ss s R eP R e R P e? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ????? ? ??????? ?????? ????? ? ? ??? 這里用到了 ? ?R? 的正交性質(zhì)，即轉(zhuǎn)置矩整等于逆矩陣。 證畢。 證明 2: 先證明 ? ? ? ? ? ?1 3U n r U n R n r? ? ? ? ??? ? ? 考慮有限小轉(zhuǎn)動(dòng) ? ?? ??? ，這時(shí)左邊為 218 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?13222,22U n r U n I i n r I i nr i r nr i i r nr n r R n r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 如果轉(zhuǎn)角為無(wú)窮小，則推導(dǎo)中幾步近似等號(hào)將嚴(yán)格成立。接著，繼續(xù)繞同一轉(zhuǎn)軸 n 不斷進(jìn)行無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)。這些無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)相乘時(shí)，指數(shù)可以相加，就得到有限轉(zhuǎn)動(dòng) 的 公式。 接著， 再證極化矢量之間的關(guān)系 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?22111()()()iiou t ininininininin inP r s e e s rs U rU ss R r sP R r R P r? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ????? ? ??????? ????? ? ? ??? 證畢。 總之，當(dāng)中子穿過(guò)板狀磁場(chǎng)時(shí)，其自旋波函數(shù)經(jīng)受一個(gè) ? ?2SU 變換 U ，而同時(shí)極化矢量 則 經(jīng)受與此 ? ?2SU 相應(yīng)的空間轉(zhuǎn)動(dòng) ? ?3RU。 舉兩個(gè)例子說(shuō)明。其一為一單色熱中子束，在中子干涉儀（由整塊柱狀單晶硅挖成 “山 ”字形做成）的 A 點(diǎn)由于 Laue 散射而被分解成透射和衍射兩束，然后 分別在 B 和 C 點(diǎn)經(jīng)過(guò)反射，交匯于 D 點(diǎn)。其中一束穿過(guò)一個(gè)橫向板狀均勻磁場(chǎng) B 區(qū)域，距離為 l 。假定從 A 到 D這兩條路徑除磁場(chǎng)外 ，程差 完全 相等。 在 入射 中子 的 極化方向平行于磁場(chǎng) 的 情況下，求出點(diǎn) D 的強(qiáng)度依賴(lài)于 B 、 l 和中子波長(zhǎng) λ的關(guān)系。 解：設(shè) AC 束前進(jìn)方向?yàn)?y， xB Be? ，按題設(shè) ? ?1, 0, 0in ou tPP?? ，于是 ? ? 1112ins? ??? ????。由于兩條空間路徑相同，且中子不帶電荷，磁場(chǎng) 219 對(duì)中子空間波函數(shù)不起作用， 加之程差 完全 相等， 故空間波函數(shù)對(duì) D點(diǎn)的干涉不起作用 。 D 點(diǎn)干涉強(qiáng)度只決定于自旋波函數(shù)的相干疊加。它正比于 22( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 )200( , ) ( , ) ( , ) ( , )xiD D D Ds t s t s t e s t??? ? ? ??? ? ? ? ?? ?22222111 , 1 ( 1 ) ( 1 )2 1111 , 1 22 14 c os4xxxxiiiieeee? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ?????? ??? ? ??? ??????? 即 22( ) ( 0 ) co s .4nDDBlI B I ? ? ????? ???? （ ） 值得注意的是 ，當(dāng) ACD 分支穿過(guò)這個(gè)磁場(chǎng)區(qū)時(shí)， 若選擇 l（或 B ） 使極化矢量 P 轉(zhuǎn)過(guò) 總角度 ρ=2π， 這時(shí) out inPP? ， 但此 分支 自旋波函數(shù)并未完全還原，而是出一個(gè) ? 的位相，使得 D 點(diǎn)的相干疊加呈現(xiàn)極小。這正是（此處為 1/2 自旋）波函數(shù)旋量性質(zhì)的體現(xiàn)： 波函數(shù)在空間轉(zhuǎn)動(dòng) 2π時(shí)會(huì)出負(fù)號(hào)，只當(dāng) P 轉(zhuǎn)過(guò) 4π時(shí)它才完全還原。 中子干 涉量度學(xué)利用這種旋量干涉實(shí)驗(yàn)證實(shí)了這一點(diǎn)： 中子的波函數(shù)的確是個(gè)旋量波函數(shù)。 例 2．非相對(duì)論中子的 自旋回波共振 （ spinecho） 。 在上例中子干涉儀中，如圖 放 置兩個(gè) 方向平行或反平行的板狀 磁場(chǎng) ? ? ? ?1 1 2 2, , ,B l B l， 則 D 點(diǎn)的波函數(shù)為 220 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?1212001 2 1 22111 1 c os sin2 2 2 2D D D D I II D Dir r r r U U rU e ie??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ????? ????? ? ? ? ? ????????? ???? 這里 i i i Bie? ??? ，（ i=1,2） ,為兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域中極化矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角矢量（方向分別為兩個(gè)磁場(chǎng)方向），12e???為矢量 ? ?12??? 的單位方向矢量，??0? 為無(wú)磁場(chǎng)時(shí)態(tài)矢。 注意，只和自旋有關(guān)的 U 變換對(duì)空間局域態(tài)矢 Dr 不起作用。 于是 ，在 D 點(diǎn) 處 中子計(jì)數(shù) 強(qiáng)度 將正比于 2DDI ?? ? ? ? ?00DDr U U r???? ? ? ? ?? ?DDDrrr???? ????? ? ??????????? ????? ? ???????21 2 2 1 2220 1 2 2 1 21 1 c o s si n4 2 21 1 c o s si n4 2 2? ? ? ?? ? ? ?? 此 式即為 ? ?0 2 1 2co s4DDII ?????? ???? （ ） 這里 ? ? ? ? 200DDIr??正比于 無(wú)兩個(gè)磁場(chǎng)時(shí) D 點(diǎn) 中子計(jì)數(shù)強(qiáng)度 。 如果兩個(gè)磁場(chǎng)的強(qiáng)度、長(zhǎng)度相同，但方向相反，就成為中子自旋回波共振裝置 （實(shí)踐中，如 l、 B 不等，總可以調(diào)整產(chǎn)生磁場(chǎng)的線(xiàn)圈電流強(qiáng)度，使 D 點(diǎn)達(dá)到中子計(jì)數(shù)率的極大值即可），好象天平的兩臂，達(dá)到了平衡。這時(shí) ? ?122 2 1 12 244 n B l B l k? ? ? ?? ??? ? ? ?。由于這是 位相 平衡，十分靈敏， 一旦在兩臂之一施加某種影響（比如在一段路徑上加入物質(zhì)薄層， 這相當(dāng)于加入移動(dòng)位相的相移器），平衡極易遭破壞， D 點(diǎn)中子計(jì)數(shù)率將會(huì)明顯變化。由這種（以及類(lèi)似的）安排，在中子干涉儀上完成了大量有關(guān)檢驗(yàn)量子力學(xué)基本原理的實(shí)驗(yàn)研究和實(shí)際測(cè)量，形成 221 了具有高精密度的中子干涉度量學(xué)。詳細(xì)情況可參見(jiàn)前面有關(guān)文獻(xiàn)。 3, 均勻磁場(chǎng)下入射自由電子的運(yùn)動(dòng) —— Landau 能級(jí) 這時(shí) ? ? 0Vr? ， zB Be? ， 矢勢(shì) ? ?, 0, 0A By?? ， Hamilton 量 為 2 2212 x y zeBH p y p pc?????? ? ? ????????? () 注意 這里沒(méi)有略去 2A 項(xiàng)，即未做磁場(chǎng)的線(xiàn)性近似。 由于 H 中不顯含 x 、 z ，所以 相應(yīng)的正則動(dòng)量分量 xp 、 zp 守恒。但 要 注意， 守恒的 xp 是正則動(dòng)量， 不是機(jī)械動(dòng)量xxeBP p yc??。實(shí)際上， x 方向 的 機(jī)械動(dòng)量 xP 并不守恒 。只有 zp 既是正則動(dòng)量又是機(jī)械動(dòng)量。 于是只有 z 方向 速度恒定并可連續(xù)變化，而 x 方向 速度并不恒定 。因此 ， 雖然波函數(shù)可寫(xiě)為 ? ? ? ? ? ?/, xzi p x p zx y z e y???? 此處 ? 指數(shù)上的 zp 不是 守恒力學(xué)量的算符，而是 其 本征值，具體數(shù)值由自由粒子的初條件決定。 注意， 由 規(guī)范變換導(dǎo)致的 ()式可知，此處 波函數(shù) ? 可以 有 一個(gè)任意 (不含時(shí)間和變數(shù) z 的 )相因子 ? ?,ief x y ce 的不確定性。 因此 ， 即便初 條件 給定了 xp 值 ，進(jìn)入磁場(chǎng)后也 不再確定。與此相應(yīng)， 將 此 ? ?,x y z? 表達(dá)式 代入 定態(tài) Schrodinger 方程 ， 化 簡(jiǎn) 為關(guān)于 y 的諧振子方程 ，便 求得能量表達(dá)式 為 21()22zqB pEn c??? ? ? （ ）