高考數學失分點一函數導數不等式(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 則二次函數 u ＝－ x2＋ 6 x ＋ 7 在 ( － ∞ ， 3] 上為增函數， 在 [3 ，＋ ∞ ) 上為減函數． 又 y ＝ l o g4u 是增函數，函數 f ( x ) ＝ l o g4(7 ＋ 6 x － x2) 的定義域是 ( － 1 , 7 ) ， 故由復合函數的單調性知，所求函數的單調遞增區間為( － 1 , 3 ] ． (－ 1 ,3 ] 失分點 6 混淆 “ 切點 ” 致誤 例 6 求過曲線 y ＝ x 3 － 2 x 上的點 (1 ，－ 1) 的切線方程． 錯解 ∵ y ′ ＝ 3 x 2 － 2 ， ∴ k ＝ y ′ | x ＝ 1 ＝ 3 1 2 － 2 ＝ 1 ， ∴ 切線方程為： y ＋ 1 ＝ x － 1 即 x － y － 2 ＝ 0. 找準失分點 錯把 (1 ，－ 1) 當切點． 失分原因與防范措施 過曲線上的點（ 1 ， 1 ）的切線與曲線的切點可能是（ 1 ， 1 ），也可能不是（ 1 ， 1 ） . 本題錯誤的根本原因就是把（ 1 ， 1 ）當成了切點 . 解決這類題目時，一定要注意區分“過點 A （ x 0 , y 0 ）的切線方程”與“在點 A 處的切線方程”的不同 . 雖只有一字之差，意義完全不同，“在”說明這點就是切點，“過”只說明切線過這個點，這個點不一定是切點 . 正解 設 P ( x0， y0) 為切點，則切線的斜率為 y ′ | ＝ 3 x20－ 2. ∴ 切線方程為 y － y0＝ (3 x20－ 2 ) ( x － x0) ，即 y － ( x30－ 2 x0) ＝ (3 x20－ 2 ) ( x － x0) ． 又知切線過點 (1 ，－ 1) ，把它代入上述方程，得 － 1 － ( x30－ 2 x0) ＝ (3 x20－ 2 ) ( 1 － x0) ， 整理，得 ( x0－ 1)2(2 x0＋ 1) ＝ 0 ， 解得 x0＝ 1 ，或 x0＝－12. 故所求切線方程為 y － (1 － 2) ＝ (3 － 2 ) ( x － 1) ，或 y － ( －18＋ 1) ＝ (34－ 2 ) ( x ＋12) ， 即 x － y － 2 ＝ 0 ，或 5 x ＋ 4 y － 1 ＝ 0. 0xx?變式訓練 6 曲線 C ： y ＝ 3 x － x3過點 A (2 ，－ 2) 的切線 方程是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 設切點為 P ( x0， y0) ， f ′ ( x ) ＝ 3 － 3 x2. 則 P 點處的切線方程為 y － y0＝ f ′ ( x0)( x － x0) ， 即 y － (3 x0－ x30) ＝ (3 － 3 x20)( x － x0) ． ∵ 點 A (2 ，－ 2) 在切線上， ∴ － 2 － 3 x0＋ x30＝ (3 － 3 x20)(2 － x0) ， 解得 x0＝ 2 或 x0＝－ 1. ∴ 過點 A (2 ，－ 2) 的切線方程分別為 y ＋ 2 ＝－ 9( x － 2) 或y ＋ 2 ＝ 0 ， 化簡得 9 x ＋ y － 16 ＝ 0 或 y ＋ 2 ＝ 0. 9 x ＋ y － 16 ＝ 0 或 y ＋ 2 ＝ 0 失分點 7 極值點概念不清致誤 例 7 已知 f ( x ) ＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ a2在 x ＝ 1 處有極值為 10 ，則 a ＋ b ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . 錯解 － 7 或 0 找準失分點 x ＝ 1 是 f ( x ) 的極值點 ? f ′ ( 1 ) ＝ 0 ； 忽視了 “ f ′ ( 1 ) ＝ 0 ? x ＝ 1 是 f ( x ) 的極值點 ” 的情況． 失分原因與防范措施 “函數 y = f( x ) 在 x = x 0 處的導數值為0 ”是“函數 y = f( x ) 在點 x = x 0 處取極值”的必要條件，而非充分條件，但解題中卻把“可導函數 f( x ) 在 x = x 0 處取極值”的必要條件誤作充要條件 . 對于可導函數 f( x ): x 0 是極值點的充要條件是 x 0 點兩側導數異號，即若 f′ ( x ) 在方程 f′ ( x ) = 0 的根 x 0 的左右的符號：“左正右負” f( x ) 在 x 0 處取極大值；“左負右正”f( x ) 在 x 0 處取極小值，而不僅是 f′ ( x 0 ) = 0 . f′ ( x 0 ) =0 是x 0 為極值點的必要而不充分條件 . 對于給出函數極大（?。┲档臈l件，一定要既考慮 f′ ( x 0 )=0 ，又考慮檢驗“左正右負”（“左負右正”）的轉化，否則易產生增根 . 正解 f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 ax ＋ b ，由 x ＝ 1 時，函數取得極值 10 ，得 ????? f ′ ( 1 ) ＝ 3 ＋ 2 a ＋ b ＝ 0 ， ①f ( 1 ) ＝ 1 ＋ a ＋ b ＋ a2＝ 10 ， 聯立 ①② 得????? a ＝ 4 ，b ＝－ 11 ，或????? a ＝－ 3 ，b ＝ 3. 當 a ＝ 4 ， b ＝－ 11 時， f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 8 x － 11 ＝ (3 x ＋ 1 1 ) ( x － 1)在 x ＝ 1 兩側的符號相反，符合題意． 當 a ＝－ 3 ， b ＝ 3 時， f ′ ( x ) ＝ 3( x － 1)2在 x ＝ 1 兩側的符號相同，所以 a ＝－ 3 ， b ＝ 3 不符合題意，舍去． 綜上可知 a ＝ 4 ， b ＝－ 11 ， ∴ a ＋ b ＝－ 7. ② 變式訓練 7