[理學]微積分習題(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ．求曲線 2sinxt? ， sin cosy t t? ， 2coszt? 在點 ? ?, 處的切線和法平面方程。 167。 多元微分學的幾何應用（ 2） 167。 方向導數和梯度 1. 求曲面 2xy z? 在點 ? ?1,4,2 處的切平面與法線方程。 2. 求曲面 2 2 224x y z? ? ?上平行于平面 21x y z? ? ? 的切平面方程。 3. 求函數 u xyz? 在點 ? ?5,1,2 處，沿從點 ? ?5,1,2 到 ? ?9,4,14 的方向的方向導數。 4. 求函數 22u xy z??在點 ? ?2, 1,1? 處方向導數的最大值。 5. 設 2 2 2v x y z? ? ?，求 gradv 。 6. 求 u x xy xyz? ? ? 在點 ? ?1,2, 1? 處的梯度，并求該梯度方向的方向導數。 7. 求 221 ( )xyzab? ? ?在點 ,22ab??????處沿曲線 12222 ??byax 的內法向量的方向導數。 8. 設 n? 是曲面 2 2 22 3 62x y z? ? ?在點 ? ?1,1,1P 處指向外側的法向量，求函數 z yxu 22 86 ?? 在點 P 處沿n? 方向的方向導數。 9. 試證：曲面 3xyz a? 上任意一點處切平面與三個坐標軸所圍四面體體積為常數。 167。 多元函數的極值及其求法 1. 求 ? ? 22,f x y xy xy x y? ? ?的極值。 2. 求 ? ? ? ?22,2 yf x y x x y e? ? ?的極值點及極值。 3. 求 z xy? 在條件 21xy??下的極值。 4. 設 u x y z? ? ? ，求 u 在 222z x y??條件下的極值。 5. 設 22u x x y? ? ? ，求 u 在區域 ? ?221D x y? ? ?上的最大值與最小值。 24 6. 求曲線 221z x yxy? ??? ??上到 xoy 坐標面距離最短的點。 7. 求內接于橢球面 2 2 22 2 2 1x y za b c? ? ?且棱平行于坐標軸的體積最大的長方體。 8. 求周長為 2p 的三角形的最大面積。 25 第九章 習題課 1. 求偏導數： （ 1） ln( )z xy? （ 2） arctan( )zu x y?? 2. 已知 arcta n22() yxz x y e??? ，求 dz 。 3. 設 1 ( ) ( )z f xy y x yx ?? ? ?，其中 ,f? 具有 2 階連續導數，求 2zxy???。 4. 設 ( , )y f x z? ，而 ( , )z z x y? 由方程 ( , , ) 0F x y z ? 確定，其中 f 、 F 一階連續可導，求 dydx 。 5. 設 ? ?,u f x xy xyz? ， ? ?,f xy 二階可導，求： ux?? 、 2uxy???、 2uxz??? 。 26 6. 設 22u x xy y? ? ? ， ? ?cos , sinl ??? 及點 0(1,1)P ，（ 1）試求： ul??；（ 2）若 ul??在 0P 處取最大值，求 ? 。 7. 設 ( , )z z x y? 滿足方程 2 e 2 3zz xy? ? ?，且 (1,2) 0z ? ，求 (1,2)d|z 。 8. 證明：錐面 221z x y? ? ? 上任一點的切平面都經過其頂點 。 9. 求周長為定值 2p 的三角形，使它繞自己的一邊旋轉所產生的旋轉體體積最大者。 27 167。 二重積分的概念與性質 167。 二重積分的計算法（ 1） 1. 利用二重積分的幾何意義計算： （ 1） ??????222222ayxdyxa ? （ 2） D 由 1, 1, 0x y x y x? ? ? ? ?所圍，求 ??Dyd? 2. 利用估值定理估計下列積分的值： （ 1）22221 ( 4 1)xy x y dxdy?? ???? （ 2） ???? ???10 1022 )(yxdyxxy ? 3. 比較下列積分的大小： （ 1） ? ?2201xyx y d????????、 ? ?3301xyx y d???????? （ 2）1( , )D f x y d??? 、2( , )D f x y d??? ， 120,f D D?? 4. 計算： （ 1）221 , 1 ()xy x xy y d??? ???? （ 2）00cos( )xyxx x y d????????? 28 5. 畫出積分區域，并計算： （ 1）xyD ye dxdy??，其中 D 由 1, 2, 1xy x y? ? ?所圍 （ 2） ? ?2D x y dxdy???，其中 ? ?? ?,1D x y x y? ? ? 6. 交換積分次序： （ 1） 1 1 0 ( , )ydy f x y dx?? （ 2）2 1 0 ( , )yydy f x y dx?? （ 3）2 2 2 0 ( , )yydy f x y dx??? 29 167。 二重積分的計算法（ 1） （續）（ 2） 1. 畫出下列積分區域 D ，并把 ( , )D f x y dxdy??化為極坐標系下的二次積分： （ 1） ? ?? ?2 2 2 2, , 0D x y a x y b a b? ? ? ? ? ? （ 2） ? ?? ?22, 4D x y x x y x? ? ? ? 2. 將下列二次積分化為極坐標形式并計算： （ 1） 1 1 0 0 ()dx x y dy??? （ 2） 22 1 1 1 0 1 1xxdx xydy?????? 3. 利用極坐標計算： （ 1）222214ln ( )xy x y dxdy? ? ? ??? （ 2）22 4()x y x x y dxdy?? ??? 30 4. 計算二重積分： （ 1） dvyxD?? ? )(22， D 是由 21 yx ??? ，直線 1, 1, 2y y x? ? ? ? ?圍成 （ 2） ????D dxdyyx yx 22，其中 D 為 1,122 ???? yxyx 5. 求圓錐體 22z x y??被柱面 2 2zx? 所截下部分的體積。 6. 用二重積分表示由三個坐標面及 236x y z? ? ? 所圍立體的體積，并計算之。 31 167。 三重積分（ 1）（ 2） 1． 化三重積分 ( , , )I f x y z dxdydz?? ???為三次積分，其中積分區域 ? 分別為： （ 1）由雙曲拋物面 2xy z? 及平面 1 0, 0x y z? ? ? ?所圍成的閉區域 （ 2）由曲面 2223z x y??及 23zx?? 所圍成的閉區域 2． 計算23xy z dxdydz????，其中 ? 為 ,a x b c y d l z m? ? ? ? ? ?。 32 3． 計算? ?32 dxdydzx y z? ? ? ????，其中 ? 為平面 0 , 0 , 0 , 1x y z x y z? ? ? ? ? ?所圍成的四面體。 4． 利用三重積分計算由曲面 226z x y? ? ? 及 22z x y??所圍成的立體的體積。 33 167。 三重積分（ 2）續 1． 利用柱面坐標計算下列三重積分： （ 1） zdv????，其中 ? 是由曲面 223z x y? ? ? 及 222z x y??所圍成的閉區域 （ 2） ? ?22x y dv? ????，其中 ? 是由曲面 222x y z??及平面 8z? 所圍成的閉區域 2． 利用球面坐標計算下列三重積分： （ 1） ? ?2 2 2x y z dv? ?????，其中 ? 是由球面 2 2 2 2x y z? ? ? 所圍成的閉區域 34 （ 2） zdv????，其中閉區域 ? 由不等式 ? ? 22 2 2 2 2 22 4 ,x y z a a x y z? ? ? ? ? ?所確定 3． 利用三重積分計算由曲面 225z x y? ? ? 及 224x y z??所圍成的立體的體積。 35 167。 重積分的應用 第十章 習題課（ 1） 1． 求底圓半徑相等的兩個直交圓柱面 2 2 2x y R??及 2 2 2x z R?? 所圍立體的表面積。 2． 求球面 2 2 2 2x y z R? ? ? 含在圓柱面 22x y Rx?? 內部的那部分面積。 36 3． 計算下列二重積分： （ 1） ? ?22D x y d????，其中 ? ?? ?, 0 sin , 0D x y y x x ?? ? ? ? ? （ 2） 2 2 2D a x y d?????，其中 D 是圓周 22x y ax??所圍成的閉區域 （ 3） ? ?2 4 8 6D x x y d?? ? ???，其中 ? ?? ?2 2 2,D x y x y R? ? ? 37 第十章 習題課（ 2） 1． 交換下列二次積分的積分次序： （ 1） ? ?