[理學(xué)]高數(shù)第二章習(xí)題解答(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2 2239。 xx exey ?? ， )23(244239。39。 23 2222 xxeexxexey xxxx ????? 2. 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)： （ 1） 16)( 2 ?? xxxf ，求 )5(f? ； （ 2） 2)ln(cos xy ? ，求 exy ?? . 解：（ 1） 22222339。( ) 1 6 1 6 1 6xxf x x xx? ? ? ??? 322 3 322 2 3 2 336 1 66 ( 1 6 ) 3 3 9 61639。39。( )16 ( 1 6 ) ( 1 6 )xxxx x x x xxfxx xx?? ? ? ??? ? ?? ?? 39。39。(5) 75f ?? （ 2） 1 s in 2 l n39。 2 c o s l n s in l n xy x xxx? ? ? ? 22 c o s 2 ln si n 2 ln39。39。 xxy x ??? 222 c o s 2 l n s in 2 l n s in 2 2 c o s 2xe eey ? ???? ? ? ? 3. 驗(yàn)證函數(shù) sinxy e x? 滿足關(guān)系式 2 2 0y y y?? ?? ? ?. 解： 39。 si n c osxxy e x e x??， 39。39。 sin 2 c os sinx x xy e x e x e x? ? ?，于是將 , 39。, 39。39。y y y 代入得 2 2 0y y y?? ?? ? ?，即函數(shù) sinxy e x? 滿足關(guān)系式 2 2 0y y y?? ?? ? ?. 4. 3 xy xe? ，求 (5)(0)y . 解： 因?yàn)?3 3 ( 4 )( ) 6 , ( ) 0xx??? ??，運(yùn)用萊布尼茨公式得 ( 5 ) ( 5 ) 3 ( 4 ) 3 35 4 3( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3x x xy e x e x e x??? ?? ???? ? ? ??32( 15 60 60) xx x x e? ? ? ? 14 (5) (0) 60y??. 5. 設(shè) xxy 2sin2? ，求 ? ?10y . 解： ( 10 ) 0 2 ( 10 ) 1 ( 9 ) 2 ( 8 )10 10 10( sin ) 2 ( sin ) 2( sin )y C x x C x x C x? ? ? 2 1 0 9 8s in ( ) 2 0 s in ( ) 9 0 s in ( )2 2 2x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? 2 si n 20 c os 90 si nx x x x x? ? ? ? n 階導(dǎo)數(shù)： （ 1） xxey? ； （ 2） xy 2sin? ； （ 3） xxf ?? 1 1ln)( ，求 )0()(nf ； （ 4） 2312 ??? xxy. 解：（ 1） ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 )( ) ( ) ( ) ( ) 39。 ( )n x n x n x n xny x e e x C e x x n e?? ? ? ? ? （ 2） 2 11s in c o s 222y x x? ? ?， 39。 sin2yx? ， 39。39。 2 cos 2 , ,yx? ??? ( ) 1 ( 1 )2 s in 22nn nyx ?? ????????? （ 3） 1( ) ln ln (1 )1f x xx? ? ? ?? ， 139。( ) ,1fx x? ?2139。39。( ) ,(1 )fx x? ? ()322 ( 1 ) !39。39。39。( ) , , ( )(1 ) (1 )n nf x f xxx ?? ??? ???，則 ()(0) ( 1)!nfn?? （ 4） 習(xí)題 24 ddyx ： （ 1） 2 2 2 ()x x y y a a? ? ? ??? 為常數(shù)； （ 2） 2 2 23 3 3 ()x y a a? ? ??? 為常數(shù)； （ 3） cos( )y x y??； 15 （ 4） 1 ln( ) yy x y e? ? ? ?； （ 5） 22a rc ta n lny xyx ??． 解：（ 1）方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得： 2 39。 2 39。 0x y x y y y? ? ? ? 解得： 239。2xyy ??? ? （ 2）方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得： 113322 39。033x y y????，解得：339。 xy y? （ 3）方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得： 39。 si n( )(1 39。)y x y y? ? ? ?， 解得： sin ( )39。1 sin ( )xyy xy??? ?? （ 4）方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得： 139。39。39。yyy e yxy????，解得： 139。()yy x x y e? ?? （ 5）方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得：2 2 2 221 39。 2 2 39。2( )1y x y x y yy x x yx????? 解得： 39。 xyyxy?? ? 2．用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)： （ 1） 2211 1xxy x xx?? ? ??； （ 2） 2( 1 )ny x x? ? ? ； （ 3） 1(1 ) ( 0)xy x x?? ? ?? ?； （ 4） tan ( 0)xy x x? ???? ?； （ 5） sin ( 0)xy a a? ???? ?． 解：（ 1） 21l n 2 l n l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n ( 1 )2y x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 等號(hào)兩邊分別對(duì) x 求導(dǎo)： 16 2221 2 1 1 1 239。 1 1 1 2 ( 1 ) 1x x xy x x x x x x x x????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? （ 2） 2ln ln( 1 )y n x x? ? ?,等號(hào)兩邊分別對(duì) x 求導(dǎo)： 222139。 1,11xynxny x x x? ???? ? ?即 22( 1 )39。,1 nn x xy x??? ? （ 3） ln(1 )ln xy x?? ??等號(hào)兩邊分別對(duì) x 求導(dǎo)： 22l n( 1 )39。 ( 1 ) l n( 1 )1( 1 )x xy x x xxy x x x?? ? ? ???? ?， 即 12(1 ) l n (1 )39。 (1 )(1 ) xx x xyxxx?? ? ???? （ 4） ln tan lny x x??，等號(hào)兩邊分別對(duì) x 求導(dǎo)： 239。 ta nse c l nyxxx? ? ?，即 2 ta nta n39。 s e c ln xxy x x xx??? ? ????? （ 5） ln sin lny x a? ，等號(hào)兩邊分別 對(duì) x 求導(dǎo)： 39。 cos lny xay ?，即 sin39。 cos lnxy a x a? 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) y? ： （ 1） 0sin21 ??? yyx ； （ 2） yxey ??1 ； （ 3） )tan( yxy ?? ； （ 4） 122 ??yx . 解： （ 1）方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)： 11 39。 cos 39。 02y yy? ? ?，即 239。2 cosy y? ?， 于是22 39。sin39。39。 (2 cos )yyy y?? ?，即34 sin39。39。 (2 cos )yy y?? ?， 17 （ 2） 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)： 39。39。yyy e xe y?? ，即 39。12yyyeey xe y????， 于是 22339。( 2 ) 39。 ( 3 )39。39。 ( 2 ) ( 2 )y y ye y y y e e yyyy? ? ????? （ 3） 應(yīng)用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，得 2dd1 s e c ( )yy xyxx??? ? ? ????? 解得： 2d csc ( )dy xyx ? ? ?，對(duì)此式再對(duì) x 求導(dǎo) 2 2 2 32dd2 c s c ( ) c o t( ) 1 2 c s c ( ) c o t ( )yyx y x y x y x yxx ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????。 （ 4） 應(yīng)用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，得 2 2 39。 0x yy??， 解得： 39。 xyy?， 對(duì)此式再對(duì) x 求導(dǎo) 2339。139。39。 y y xy yy??? 4．求下列參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)： （ 1） 111txttyt? ??? ???? ?? ??； （ 2） 2222cossinttx e ty e t? ??????； 解：（ 1）2121 (1 )d y t d t d td t t t????????????? ，211 (1 )d x t d t d td t t t??????????? ，于是 dydy dtdxdxdt??2 18 （ 2） 2 2 22 2 22 c o s 2 c o s sin c o s ( c o s sin )2 sin 2 c o s sin sin ( sin c o s )ttdyd y e t t te t t tdtdxd x e t t te t t tdt??? ? ??? 求由下列參數(shù)方程所確定的隱函數(shù) )(xyy? 的二階導(dǎo)數(shù)： （ 1）3213 1 0。xty ty???? ? ? ??， 求 22 0dd tyx ? （ 2）??? ?? ?? .arctan)1ln( 2 tty tx ， 求 22ddyx 解： （ 1） 23 3 3 0d y d yy y td t d t? ? ?，2y yt y t?? ? 由方程 3 3 1 0y ty? ? ? 得， t=0 時(shí)， y= 1? ,20 0 1t td y yd t y t? ?? ? ?? 2dd ddd 2( )dyyytxx y tt? ? ? ?， 222 2 2d dd d [ 2( ) ] 2 [ 2 1 ]d dd dddd d 8 ( )y y dy dyy t y yy xx x dt dtttx x y t?? ?? ? ? ??? ???? ??? ? ? ? ? 22 0dd tyx ?=2220[ 2( ) ] 2 [ 2 1 ]8 ( )tdy dyy t y ydt dtyt?? ? ?? ?=0 （ 2） 22d11d d1d2d2d1yytttxtxtt? ?? ? ??， 2222d d 1d dd1dd d 22ddd d 41y yytxx xtttx x tt?? ???? ????? ??? ? ? ?? 6．設(shè) 33c os , si nx a t y a t??． （ 1）求 39。()yx； 19 （ 2）證明曲線的切線被坐標(biāo)軸所截的長(zhǎng)度為一個(gè)常數(shù)． 解：（ 1） 22d3 sin c o sd39。( ) ta nd 3 c o s sindya t tty x tx att? ? ? ?? （ 2）過(guò)曲線上一任點(diǎn)（ x, y）的切線方程為 33sin ta n ( c o s )y a t t x a t? ? ? ?，則該切線在兩坐標(biāo)軸的截距分別為： 002200s in , c o s , y a t x a tx y a????于 是 坐 標(biāo) 軸 所 截 線 段 的 程 度 L= 7．證明：曲線 (c o s si n )(si n c o s )x a t t ty a t t t???? ? ? ??上任一點(diǎn)的法線到原點(diǎn)的距離恒等于 a ． 證明：dc os c os sind39。( ) ta nd sin sin c osdyt t t tty x tx t t t tt??? ? ?? ? ?， 過(guò)曲線上一任點(diǎn)（ x, y）的法線方程為 ( sin c os ) c ot ( ( c os sin ) )