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第21屆希望杯初二第2試試題及答案(編輯修改稿)

2026-02-05 07:26 本頁面

　

【文章內容簡介】足2 2 2MN BN AM??，將 ABC△ 繞著 C 點順時針旋轉 90? 后，點 M、 N 的對應點分別為 TS、． ⑴請畫出旋轉后的圖形，并證明 MCN MCS?△ △ ⑵求 MCN? 的度數．圖 7NMCBA rNMSCBA 【解析】 ⑴將 ABC△ 繞著 C 點順時針旋轉 90? ，如圖．根據旋轉前后的對應關系，可知 45BN AS C N C S N BC SAC? ? ? ? ? ? ?，，所以 90M AS M AC S AC? ? ? ? ? ? ?．由色股定理，得 2 2 2 2 2 2M S AM AS AM BN M N? ? ? ? ?，所以 MN MS? ．又因為 CN CS CM? ，是公共邊，所以 MCN MCS?△ △ ． ⑵因為 CN 順時針旋轉 90? 后得到 CS，所以 90NCS? ? ? ，上面已證得 MCN MCS?△ △ ，故 1 452M C N M C S N C S? ? ? ? ? ? ?． 23．（本題滿分 15 分）已知長方形的邊長都是整數，將邊長為 2 的正方形紙片放入長方形，要求正方形的邊不長方形的邊平行或重合，且任意兩個正方形重疊部分的面積為 0，放入的正方形越多越好． ⑴如果長方形的長是 4，寬是 3，那么最多可以放入多少個邊長為 2 的正方形？長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的百分比是多少？ ⑵如果長方形的長是 ( 4)nn≥ ，寬是 2n? ，那么最多可以放入多少個邊長為 2 的正方形？長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的百分比是多少？ ⑶對于任意滿足條件的長方形，使長方形被覆蓋的面積小于整個長方形面積的 55%求長方形邊長的所有可能值．（已知 ? ）【解析】 ⑴最多可以放入 2 個正方形，長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的百分比是 22 2 2 %4 3 3? ??? ． ⑵當 n 是偶數時， 2n? 也是偶數，最多可以放入 1 ( 2)4nn?個正方形，長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的百分比是 100%．當 n 是奇數時， 2n? 也是奇數，最多可以放入 1 ( 1)( 3)4 nn??個正方形，長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的百分比是 ? ?? ?? ?13 100%2nnnn?? ?? ． ⑶設長方形的寬不長分別是 xy，．若 xy，都是偶數，則長方形被覆蓋的面積占整個長方形面積的 100%，丌符合題意．若 xy，中一個是偶數 2a ，一個是奇數 21b? （ ab，是正整數），則 4 4 2 0 .5 52 ( 2 1 ) 2 1a b a b bxy a b b? ? ???．解得 ? ．沒有滿足此結果的正整數 b ，這種情況也丌符合題意．因此， xy，都是奇數．令 2121xayb???? ??? ， a a b≤ b，，是正整數，則有 ? ?? ?4 0 .5 52 1 2aba b a ???．因為? ? ? ? ? ? ? ?24 4 4 2112 1 2 2 12 1 2 2 1 2ab a a aa b a aaaba??? ? ? ??? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，所以 22 21aa????????．得 2 0 .7 4 1 .421a aa ??? ，

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