經濟數學-微積分期末考試試卷與答案(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 (15)? ? dxxx4313 。 解 ?? ????????? Cxxdxdxxx |1|ln43)1(1 1431 3 44443 . (16)? ?? dttt ))s in((c o s 2 ???? 。 解 Cttdtdttt ?????????? ?? )(c o s3 1)c o s ()(c o s1)s i n ()(c o s 322 ???????????? . (17)? dxxx3cossin 。 解 CxCxxxddxxx ?????? ???? 2233 s e c21c o s21c o sc o sc o ss i n . (18)? ?? dxxx xx3 cossin cossin 。 解 )s i nc o s(c o ss i n 1c o ss i n c o ss i n 33 xxdxxdxxx xx ?????? ?? Cxxxxdxx ?????? ? ? 3231 )c o s(s i n23)c o s(s i n)c o s(s i n . (19)? ?? dxxx 2491 。 解 dxxxdxxdxxx ??? ?????? 222 4949 1491 )49(49 181)32()32(1121 222 xdxxdx ????? ?? Cxx ????2494132a rc s in21 . (20)? ? dxxx 239 。 解 Cxxxdxxdxxdxxx ?????????? ??? )]9l n (9[21)()9 91(21)(9219 222222223 . (21)? ? dxx 12 12 。 解 ? ?? ???????? dxxxdxxxdxx )12 112 1(21)12)(12( 112 12 ? ? ?????? )12(12 122 1)12(12 122 1 xdxxdx CxxCxx ????????? |12 12|ln22 1|12|ln22 1|12|ln22 1 . (22)? ?? dxxx )2)(1( 1 。 解 CxxCxxdxxxdxxx ??????????????? ?? |12|ln31|1|ln|2|(l n31)1121(31)2)(1( 1 . (23)? xdx3cos 。 解 Cxxxdxxdxx d x ?????? ??? 3223 s i n31s i ns i n)s i n1(s i nc o sc o s . (24)? ? dtt )(cos2 ?? 。 解 Cttdttdtt ???????? ?? )(2s i n4 121)](2c o s1[21)(c o s 2 ??????? . (25)? xdxx 3cos2sin 。 解 ? xdxx 3cos2sin Cxxdxxx ?????? ? c o s215c o s101)s i n5(s i n21 . (26)? dxxx 2coscos 。 解 Cxxdxxxdxxx ????? ?? 21s i n23s i n31)21c o s23(c o s212c o sc o s . (27)? xdxx 7sin5sin 。 解 Cxxdxxxx d xx ??????? ?? 2s i n4112s i n241)2c o s12(c o s217s i n5s i n . (28)? xdxxsectan3 。 解 xdxx d xxxx d xx s e ct a nt a ns e ct a ns e ct a n 223 ??? ??? Cxxxdx ????? ? s e cs e c31s e c)1(s e c 32 . (29)? ? dxxx2arccos2110 。 解 Cxdxddxxxxxx ???????? ??? 10ln210)a rc c o s2(1021a rc c o s10110a r c c o s2a r c c o s2a r c c o s22a r c c o s2. (30)? ? dxxx x)1(arctan 。 解 Cxxdxxdx xdxxx x ?????? ??? 2)(a rc t a na rc t a na rc t a n2)1(a rc t a n2)1(a rc t a n . (31)? ? 22 1)(arcsin xxdx 。 解 Cxxdxxxdx ????? ?? a rc s i n1a rc s i n)(a rc s i n11)(a rc s i n 222 . (32)? ? dxxx x2)ln( ln1 。 解 Cxxxxdxxdxxx x ????? ?? ln1)ln()ln( 1)ln( ln1 22 . (33)? dxxx xsincostanln 。 解 ??? ??? xdx xx d xx xdxxx x t a nt a nt a nlns e ct a nt a nlns i nc o s t a nln 2 Cxxdx ??? ? 2)t a n(l n21t a nlnt a nln . (34)? ? dxxax 222(a 0)。 解 ???? ????? dttadttat d tata tataxdxxa x 2 2c o s1s i nc o sc o ss i ns i n 22222222 令, CxaxaxaCtata ??????? 22222 2a rc s i n22s i n421 . (35)? ?12xx dx 。 解 CxCtdtt d tttttxxx dx ????????? ??? 1a rc c o st a ns e ct a ns e c 1s e c12 令 . 或 Cxxdxdxxxxxdx ???????? ??? 1a r c c o s11111111 2222. (36)? ? 32 )1(xdx。 解 Ctt d ttdttxx dx ?????? ??? s i nc o st a n)1(t a n 1t a n)1(3232令 Cxx ??? 12 . (37)? ? dxxx 92 。 解 ??? ???? t d ttdtttxdxxx 222 t a n3)s e c3(s e c3 9s e c9s e c39 令 CxxCttdtt ????????? ? 3a rc c o s393t a n3)1c o s1(3 22 . (38)?? xdx21 。 解 CxxCttdttt d tttxxdx ?????????????? ??? )21l n (2)1l n ()1 11(1 1221 令 . (39)? ?? 211 xdx 。 解 ???? ????????? dttdttt d tttxxdx )2s e c211()c o s1 11(c o sc o s1 1s i n11 22 令 CxxxCtttCtt ???????????? 211a rc s i nc o s1 s i n2t a n . (40)? ?? 21 xx dx . 解 ??? ? ????????? dttt ttttt d ttttxxx dx c o ss i n s i nc o ss i nc o s21c o sc o ss i n 1s i n1 2 令 Ctttttdttdt ???????? ?? |c o ss i n|ln2121)c o s(s i nc o ss i n 12121 Cxxx ????? |1|ln21a rc s i n21 2. 習題 5?1 1. 利用定積分定義計算由拋 物線 y=x2?1, 兩直線 x=a、 x=b(ba)及橫軸所圍成的圖形的面積 . 解 第一步 : 在區間 [a, b]內插入 n?1 個分點 inabaxi ??? (i?1, 2, ? ? , n?1), 把區間[a, b]分成 n 個長度相等的小區間 , 各個小區間的長度為 : nabxi ??? (i?1, 2, ? ? , n). 第二步 : 在第 i 個小區間 [xi?1, xi] (i?1, 2, ? ? , n)上取右端點 inabaxii ????? , 作和 n abin abaxfS niiinin ???????? ?? ?? ]1)[()( 211 ? ?? ??????? ni in abin abaan ab 1 2222 ]1)()(2[ ]6 )12)(1()(2 )1()(2[)( 2 22 nnnnn abnnn abanan ab ???????????? ]16 )12)(1()()1)(()[( 222 ?????????? n nnabn nabaaab . 第三步 : 令 ??max{?x1, ?x2, ? ? , ?xn} nab?? , 取極限得所求面積 ?? ?? ??? ni iiba xfdxxfS 10 )(l i m)( ?? ]16 )12)(1()()1)(()[(l i m 222 ?????????? ?? n nnabn nabaaabn ababababaaab ??????????? )(31]1)(31)()[( 3322 . 2. 利用定積分定義計算下列積分 : (1) xdxba? (ab)。 (2) dxex?10 . 解 (1)取分點為 inabaxi ??? (i?1, 2, ? ? , n?1), 則 nabxi ??? (i?1, 2, ? ? , n). 在第 i 個小區間上取右端點 inabaxii ????? (i?1, 2, ? ? , n). 于是 ??? ?????? ??????? ninni iinba n abin abaxx d x 11 )(l i ml i m ? )(21]2 )1()()([l i m)( 22222 abn nnababaab n ???????? ?? . (2)取分點為 nixi? (i?1, 2, ? ? , n?1), 則 nxi 1?? (i?1, 2, ? ? , n). 在第 i 個小區間上取右端點 nixii ??? (i?1, 2, ? ? , n). 于是 ) (1l i m1l i m 21110 nnnnnni ninx eeennedxe ???????? ????? ?? 1)1(]1[l i m1])(1[1l i m11111????????????? eeneeeeennnnnnnnn . 3. 利用定積分的幾何意義 ??說明下列等式 : (1) 1210 ?? xdx 。 (2) 4110 2 ???? dxx 。 (3)?? ??? 0sinxdx 。 (4) ?? ?? 2022 co s2co s??? xd xxd x . 解 (1)?102xdx 表示由直線 y?2x、 x 軸及直線 x?1 所圍成的面積 , 顯然面積為 1. (2)? ?10 21 dxx 表示由曲線 21 xy ?? 、 x 軸及 y 軸所圍成的四分之一圓的面積 , 即圓x2?y2?1 的面積的 41 : 41411 210 2 ?? ?????? dxx . (3)由于 y?sin x為奇函數 , 在關于原點的對稱區間 [??, ?]上與 x軸所夾的面積的代數和為零 , 即 ?? ??? 0sinxdx . (4) ??22cos?? xdx 表示由曲線 y?cos x 與 x 軸上 ]2 ,2[ ??? 一段所圍成的圖形的面積 . 因為 cos x 為偶函數 , 所以此圖形關于 y 軸對稱 . 因此圖形面積的一半為 ?20 cos? xdx , 即 ?? ?? 2022 co s2co s??? xd xxd x . 4. 水利工程中要計算攔水閘門所受的水壓力 , 已知閘門上水的壓強 p(單位面積上的壓力大小 )是水深 h 的函數 , 且有 p?9?