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第24屆全國(guó)物理競(jìng)賽復(fù)賽試題及答案(編輯修改稿)

2026-02-05 19:30 本頁(yè)面

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?????? （ 4）把（ 3）、（ 4）式對(duì)時(shí)間 t 求一階微商，得 222 222 2 2d d d d dc o s s in 2 c o s 2 s ind d d d dCx lt t t t t? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? （ 5） 2222 2 2d d d d ds in c o s 2 s in 2 c o sd d d d dCy lt t t t t? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? （ 6）根據(jù)幾何關(guān)系，有 si n si n si nC D AB BC? ? ??? c os c os c os 3C D AB BC l? ? ?? ? ? 即 2 2 sin sin 2 sin? ? ??? （ 7） 2 2 c os 3 c os 2c os? ? ?? ? ? （ 8）將（ 7）、（ 8）式平方后相加且化簡(jiǎn)，得 2 sin sin 2 c os c os 3 c os 3 2 c os 2 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 9）對(duì)（ 9）式對(duì)時(shí)間 t 求一階微商，代入 π2??， π4??， ddt? ???，得 d1d2t? ?? （ 10）對(duì)（ 9）式對(duì)時(shí)間 t 求二階微商，并代入上述數(shù)據(jù)，得 2 22d3d8t? ?? （ 11）將（ 10）、（ 11）式以及 ? ， ? ， ddt?的數(shù)值代入（ 5）、（ 6）式，得 2 22d 5d8Cx lt ??? 2 22d 7d8Cy lt ??? 所以 2222 222dd 74d d 8CCC xyaltt ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? （ 12）由圖知， Ca 與 x 軸的夾角為 ? 22ddta n 1 .4CCyxtt? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? （ 13）所以求得密線家族 billiards14 收集整理轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明 10 arctan 54 .46? ?? 這個(gè)夾角在第三象限，為，故 Ca 與 CD 的夾角 =? （ 14）三、參考解答： 1．設(shè) a 室中原有氣體為 mol? ，打開(kāi) K1 后，有一部分空氣進(jìn)入 a 室，直到 K1 關(guān)閉時(shí)， a 室中氣體增加到 mol?? ，設(shè) a 室中增加的 ? ?mol???? 氣體在進(jìn)入容器前的體積為 V? ，氣體進(jìn)入 a 室的過(guò)程中，大氣對(duì)這部分氣體所作的功為 0A p V?? （ 1）用 T 表示 K1 關(guān)閉后 a 室中氣體達(dá)到平衡時(shí)的溫度，則 a 室中氣體內(nèi)能增加量為 ? ?0VU C T T?? ??? （ 2）由熱力學(xué)第一定律可知 UA?? （ 3）由理想氣體狀態(tài)方程，有 0 0 045 p V RT?? （ 4） ? ?00p V RT???? ? ? （ 5） 00pV RT??? （ 6）由以上各式解出 ? ?0554VVCRTT?? ? （ 7） 2． K2 打開(kāi)后， a 室中的氣體向 b 室自由膨脹，因系統(tǒng)絕熱又無(wú)外界做功，氣體內(nèi)能不變，所以溫度不變（仍為 T ），而體積增大為原來(lái)的 2 倍．由狀態(tài)方程知，氣體壓強(qiáng)變?yōu)? 012pp? （ 8）關(guān)閉 K2，兩室中的氣體狀態(tài)相同，即 abp p p??， abT T T??， a b 0V V V??，且ab12? ? ???? （ 9）拔掉銷釘后，緩慢推動(dòng)活塞 B，壓縮氣體的過(guò)程為絕熱過(guò)程，達(dá)到最終狀態(tài)時(shí)，設(shè)兩室氣體的壓強(qiáng)、體積和溫度分別為 ap? 、 bp? 、 aV? 、 bV? 、 aT? 、 bT? ，則有 a a a aVVC R C RCCp V p V????? （ 10） b b b bVVC R C RCCp V p V????? （ 11）由于隔板與容器內(nèi)壁無(wú)摩擦，故有 abpp??? （ 12）密線家族 billiards14 收集整理轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明 11 由理想氣體狀態(tài)方程，則有 a a a ap V RT?? ? ?? （ 13） b b b bp V RT?? ? ?? （ 14）因 a b 0V V V???? （ 15）由（ 8）～（ 15）式可得 a b 012V V V???? （ 16） ab2 VRCT T T???? （ 17）在推動(dòng)活塞壓縮氣體這一絕熱過(guò)程中，隔板對(duì) a 室氣體作的功 W 等于 a 室中氣體內(nèi)能的增加，即 ? ?12 VaW C T T????? （ 18）由（ 6）、（ 17）和（ 18）式得 00212 VRCVCW p VR???????? （ 19）四、參考解答：設(shè)某一時(shí)刻線框在磁場(chǎng)區(qū)域的深度為 x? ?1xl? ，速度為 v ，因線框的一條邊切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為v2Bl?vE ，它在線框中引起感應(yīng)電流，感應(yīng)電流的變化又引起自感電動(dòng)勢(shì)．設(shè)線框的電動(dòng)勢(shì)和電流的正方向均為順時(shí)針?lè)较颍瑒t切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì) vE 與設(shè)定的正方向相反，自感電動(dòng)勢(shì)L iL t????E與設(shè)定的正方向相同 .因線框處于超導(dǎo)狀態(tài)，電阻 0?R ，故有 L v 2 0iL B l iRt?? ? ? ? ? ?? vEE （ 1）即 02 ?????? txBltiL （ 2）或 iLxBl ????2 （ 3） x 1l 2l 0v O y x 密線家族 billiards14 收集整理轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明 12 即 LBlxi 2???? （ 4）可見(jiàn) i 與 x 成線性關(guān)系，有 CxLBli ??? 2 （ 5） C 為一待定常數(shù)，注意到 0?x 時(shí)， 0?i ，可得 0?C ，故有 xLBli 2?? （ 6） 0?x 時(shí) 0?i ，電流為負(fù)值表示線框中電流的方向與設(shè)定的正方向相反，即在線框進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū) 域時(shí)右側(cè)邊的電流實(shí)際流向是向上的．外磁場(chǎng)作用于線框的安培力 xLlBiBlf 2222 ??? （ 7）其大小與線框位移 x 成正比，方向與位移 x 相反，具有“彈性力”的性質(zhì)．下面分兩種情形做進(jìn)一步分析：（ i）線框的初速度 0v 較小，在安培力的作用下，當(dāng)它的速度減為 0 時(shí)，整個(gè)線框未全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，這時(shí)在安培力的繼續(xù)作用下，線框?qū)⒎聪蜻\(yùn)動(dòng)，最后退出磁場(chǎng)區(qū)．線框一進(jìn)一出的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的半個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)的圓頻率 222BlLm?? （ 8）周期 2222π LmT Bl? （ 9）振動(dòng)的振幅可由能量關(guān)系求得，令 mx 表示線框速度減為 0 時(shí)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)的深度，這時(shí)線框的初始動(dòng)能全部轉(zhuǎn)換為“彈性力”的“彈性勢(shì)能”，由能量守恒可得 2222201122 mBlmxL??? ????v （ 10）得 20m 222Lmx Bl? v （ 11）故其運(yùn)動(dòng)方程為 0 22 s inLm BlxtBl Lm??? ????v ， t 從 0 到2πLmBl （ 12）半個(gè)周期后，線框退出磁場(chǎng)區(qū)，將以速度 0v 向左勻速運(yùn)動(dòng)．因?yàn)樵谶@種情況下 mx 的最大值是 1l ，即 22222011122BlmlL?v （ 13）由此可知，發(fā)生第（ i）種情況時(shí)， 0v 的值要滿足下式密線家族 billiards14 收集整理轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明 13 22222011122BlmlL??? ????v 即 120 BllmL?v （ 14） (ii) 若線框的初速度 0v 比較大，整個(gè)線框能全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)．當(dāng)線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)時(shí)，其速度仍大于 0，這要求 0v 滿足下式 210 Bl lmL?v （ 15）當(dāng)線框的初速度滿足（

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