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第一章函數、極限與連續習題課(編輯修改稿)

2025-11-22 13:00 本頁面

　

【文章內容簡介】定義 1 設函數 )( xf 在點0x 的某一鄰域內有定義 ,如果當自變量的增量 x? 趨向于零時 , 對應的函數的增量 y? 也趨向于零 , 即0lim0????yx 或 0)]()([lim000??????xfxxfx那末就稱函數 )( xf 在點0x 連續 ,0x 稱為 )( xf 的連續點 .連續的定義 ).()(lim2 00xfxfxx ??定義定理 .)()( 00既左連續又右連續處在是函數處連續在函數 xxfxxf ?.)(),()0(,),[)(0000處右連續在點則稱且內有定義在若函數xxfxfxfbxxf ??連續的充要條件單側連續。)(),()0(,],()(0000處左連續在點則稱且內有定義在若函數xxfxfxfxaxf ??:)( 0 條件處連續必須滿足的三個在點函數 xxf。)()1( 0 處有定義在點 xxf。)(l i m)2(0存在xfxx ?).()(l i m)3( 00xfxfxx ??).()(),()(,00或間斷點的不連續點為并稱點或間斷處不連續在點函數則稱要有一個不滿足如果上述三個條件中只xfxxxf間斷點的定義 (1) 跳躍間斷點 .)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點為函數則稱點但存在右極限都處左在點如果xfxxfxfxxf???(2)可去間斷點 .)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點為函數義則稱點處無定在點或但處的極限存在在點如果xfxxxfxfAxfxxfxx???間斷點的分類跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點 . 特點 : .,0 右極限都存在處的左函數在點 x可去型第一類間斷點跳躍型 0 y x 0x0 y x 0x0 y x 無窮型振蕩型第二類間斷點 0 y x 0x第二類間斷點 .)(,)(00類間斷點的第二為函數則稱點至少有一個不存在右極限處的左在點如果xfxxxf.],[)(,),(上連續在閉區間函數則稱處左連續在右端點處右連續并且在左端點內連續如果函數在開區間baxfbxaxba??閉區間的連續性連續性的運算性質定理 .)0)(()()(),()(),()(,)(),(000處也連續在點則處連續在點若函數xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf???定理 1 嚴格單調的連續函數必有嚴格單調的連續反函數 . 定理 2 )].(lim[)()]([lim,)(,)(lim000xfafxfaufaxxxxxxx?????????則有連續在點函數若初等函數的連續性 .)]([,)(,)(,)(00000也連續在點則復合函數連續在點而函數且連續在點設函數xxxfyuuufyuxxxxu??????????定理 3 定理 4 基本初等函數在定義域內是連續的 . 定理 5 一切初等函數在其定義區間內都是連續的 . 定義區間是指包含在定義域內的區間 . 閉區間上連續函數的性質定理 1(最大值和最小值定理 ) 在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值 . 定理 3( 零點定理 ) 設函數 )( xf 在閉區間 ? ?ba ,上連續，且 )( af 與 )( bf 異號 ( 即 0)()( ?? bfaf ),那末在開區間 ? ?ba , 內至少有函數 )( xf 的一個零點 , 即至少有一點 ? )( ba ??? ，使 0)( ??f .定理 2(有界性定理 ) 在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界 . 推論在閉區間上連續的函數必取得介于最大值 M與最小值 m之間的任何值 . 定理 4( 介值定理 ) 設函數 )( xf 在閉區間 ? ?ba , 上連續，且在這區間的端點取不同的函數值 Aaf ?)( 及 Bbf ?)( ,那末，對于 A 與 B 之間的任意一個數 C ，在開區間? ?ba , 內至少有一點 ? ，使得 cf ?? )( )( ba ??? .二、典型例題例 1 2( 1 )l o g ( 1 6 ) .xyx ???求函數的定義域解 ,016 2 ?? x,01 ??x,11 ??x????????214xxx,4221 ???? xx 及).4,2()2,1( ?即例 2 1( ) ( ) 2 , 0 , 1 .( ) .xf x f x x xxfx?? ? ? ?設其中求解利用函數表示法的無關特性 ,1xxt ??令 ,1 1 tx ??即代入原方程得 ,1 2)()1 1( ttftf ????12( ) ( ) ,11f x f xx????即,11 1 uux ???令 1 1 ux ??即代入

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