本科生必修課：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 ? 又由于基本事件是兩兩不相容的 ? 所以 1＝ P(S)＝ P({e1}∪ {e2}∪ … ∪ {en})==nP({ei})， i＝ 1,2,…, n ? 即 P({ei})=1/n , i＝ 1,2,…,n ? 若事件 A包含 k個(gè)基本事件，即 A={ }∪ { }∪ … ∪ { }， i1，i2， … ， ik是 1到 n中某 k個(gè)不同的數(shù)，則有 ? P(A)＝ ＝ ＝ 1ie 2ie kie??kj i jeP1})({ nk 中包含的基本事件數(shù)中包含的基本事件數(shù)SA39/69 167。 等可能概型（古典概型） ? 例 1．古典概型的一般問題 ? 一枚硬幣拋三次 ? (i) 設(shè)事件 A1：恰有一次出現(xiàn)正面，求 P(A1) ? (ii)設(shè)事件 A2：至少有一次出現(xiàn)正面，求 P(A2) ? 解：首先正確給出樣本空間 ? S={HHH， HHT， HTH， HTT， THH， THT， TTH， TTT} ? (i) 事件 A1={HTT， THT， TTH } ? 分析： S中只有有限個(gè)元素，由對稱性可知 ? 每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同 ―― 等可能概型 ? ∴ P(A1)＝ 3/8 ? (ii)先看 A2的逆事件 ={TTT} ? P(A2)＝ 1－ P( )＝ 1－ 1/8＝ 7/8 2A2A型的判斷可根據(jù)對稱性來考慮一般的排列組合問題都是古典概型 “至少 …” 通常先考察其逆事件 40/69 167。 等可能概型（古典概型） ? 例 2：放回抽樣與不放回抽樣 ? 一只口袋有 6只球： 4只白的， 2只紅的。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)取一只， 考慮兩種取球方式： ? 放回抽樣：第一次取一只球，觀察顏色后放回袋中，攪勻后再取一只 ? 不放回抽樣：第一次取一只球不放回袋中，第二次從剩余球中再取一只 ? 分別就以上兩種方式求： ? (i)取到的兩只球都是白球的概率； ? (ii)取到的兩只球顏色相同的概率； ? (iii)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。 ? 解： (a)放回抽樣的情況 ? 啟示：恰當(dāng)?shù)睦檬录g的關(guān)系可以簡化求解 ? 設(shè)事件 A：取到的兩只都是白球 。 事件 B：取到的兩只都是紅球 。 事件 C：至少一白 ? 則 (i) 相當(dāng)于求 P(A)； (ii) P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)； ? (iii) P(C)＝ P( )=1－ P(B) ? 所以只要求出事件 A和事件 B的概率就行了 ? 分析：依次從袋中取兩球，每一取法為一個(gè)基本事件。又樣本空間中的元素有限，由對稱性每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同：等可能概型 ? ①計(jì)算 S中元素的個(gè)數(shù)：第一次 6球，第二次 6球，由組合乘法原理， ? 共有 6 6＝ 36種 ? ② A：兩次都有 4只白球可取，共有4 4＝ 16種 ? ③ B：兩次都有 2只紅球可取，共有2 2＝ 4種 ? ∴ 由古典概型公式： ? P(A)＝ 16/36=4/9 ? P(B)＝ 4/36=1/9 ? P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)=4/9+1/9=5/9 ? P(C)＝ P( )=1－ P(B)=1－ 1/9=8/9 ? (b)不放回抽樣的情況 ? S： 6 5＝ 30， A: 4 3＝ 12， B：2 1＝ 2 具體步驟（略） 分?jǐn)?shù)不可隨意化成小數(shù)，除非有保留精度 BB41/69 167。 等可能概型（古典概型） ? 例 3，生日悖論 ? 將 n只球隨機(jī)放入 N(N?n)個(gè)盒子中去 . ? 求每個(gè)盒子至多有一只球的概率 (設(shè)盒子容量不限 ) ? 解：分析： n只球放入 N個(gè)盒子中的每一種方法為一個(gè)基本事件 ? 由對稱性易知：古典概型 ? S：共有 Nn種不同的放法 ? A：至多放一只，共有 N (N－ 1) (N－ 2) … (N－ n＋ 1) ? 所以 P(A)= N (N－ 1) (N－ 2) … (N－ n＋ 1)/Nn= ? 生日問題 ? 設(shè)每人的生日在一年 365天中任一天是等可能的 ? 任選 n個(gè)人 (n?365)，生日各不相同的概率： ? 由公式，概率＝ ? 則 n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率 p＝ 1－ ? 當(dāng) n＝ 23時(shí)， p＝ ? 當(dāng) n＝ 64時(shí)， p＝ ，幾乎等于 1， 60個(gè)人的班級以近乎于 1的概率有兩個(gè)人生日相同 盒 1盒 N盒 2… … 球 … … 1 2 nCN1CN1CN1nnNNAnnA365365nnA36536542/69 167。 等可能概型（古典概型） ? 例 4 超幾何分布的概率公式 ? 設(shè)有 N件產(chǎn)品，其中 D件次品，今從中任取 n件 ? 問其中恰有 k(k?D)件次品的概率是多少？ ? 解： S： N件中任取 n件（不放回抽樣，也不計(jì)次序） ? 共有 種取法，每一取法為一基本事件 ? 注意：符號 為組合數(shù)， N， n均為整數(shù)， ? 當(dāng) N為實(shí)數(shù)時(shí)記做 ? A：恰有 k件次品：相當(dāng)于在 D件次品中任選 k件，并在 N－ D件正品中任選 n－ k件 ? 共有 件 ? ? P(A)= ????????nNnNCnNCkn DND CC ???knkNknDNDCCC ???43/69 167。 等可能概型（古典概型） ? 例 5 抽簽問題 ? 袋中有 a只白球， b只紅球， k個(gè)人依次在袋中取一只球，分別采用放回抽樣和不放回抽樣的方式，求第 i個(gè)人取到白球的概率 (ka+b,i?k),記為 P(B) ? 解： (1)放回抽樣時(shí) ? 第 i個(gè)人取球不受前 i－ 1個(gè)人的影響，因此概率等于白球的個(gè)數(shù)比上球總數(shù) ? 即 P(B)＝ ? (2)不放回抽樣的情況 ? 第 i個(gè)人取到白球的取法總數(shù)比上總?cè)》〝?shù)，其中總?cè)》〝?shù)如下： ? S：總的取法， k個(gè)人各取一只球，每種取法為一個(gè)基本事件 ? 共有 (a+b) (a+b－ 1) … ( a+b－ k+1)= 種取法 ? 事件 B發(fā)生時(shí)，第 i個(gè)人應(yīng)取到白球，可以是 a只中的任意一只，共有 a種情況，對于每一種情況來說，其余 k－ 1個(gè)人是從其余 a+b－ 1個(gè)球中任取 k－ 1只，由于是不放回抽樣，共有 種， ? 所以事件 B發(fā)生時(shí)可能的取法總數(shù)為 a ? P(B)＝ ? 可見概率與 i無關(guān)，即 k個(gè)人每人取到白球的概率與取球的先后次序，取球的方式 (是否放回抽樣 )無關(guān)，它們機(jī)會均等 baa?k baA?1 1???k baA1 1???k baAbaaAAak bak ba??? ?? ?? 1 144/69 167。 等可能概型（古典概型） ? 例 一道作業(yè)題 ? 從 5雙不同的鞋子中，任取 4只，這 4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少？ ? 解：古典概型 ? 為方便分析，先求 4只都不配成雙的概率 p ? S：共有 種不同的取法 ? 4只都不配成雙的概率： ? 5雙鞋中先任選 4雙，然后每雙鞋中任選一只 ? ? 所以 p＝ ? 所以至少兩只配成雙的概率為 1－ p＝ 1－ ? 或直接求： ? 有 1雙配成雙： 有兩雙配成雙 ? 所以 P(B)= 410C1212121245 CCCCC ????4104542CC4104542CC）（ 12122415 CCCC ??? 25C4102512122415 / CCCCCC ））（（ ????45/69 167。 等可能概型（古典概型） ? 例 8 小概率事件與實(shí)際推斷原理 ? 某接待站在某一周曾接待過 12次來訪，均是在周二和周四進(jìn)行 ? 問：是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？ ? 解：假設(shè)接待事件沒有規(guī)定，而來訪者在一周內(nèi)任一天去接待站是等可能的 ? 那么 12個(gè)來訪者分布于一周 7天共有 712種可能分布 ? 現(xiàn)在 12個(gè)人均集中在周二和周四兩天，共有 212種可能情況 ? 因此在沒有規(guī)定的情況下， 12個(gè)來訪者均集中在周二和周四兩天的概率為 ? 212/712＝ ,千萬分之三，近乎于不可能事件 ? 實(shí)際推斷原理：根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的 ? 現(xiàn)在這種小概率事件竟然發(fā)生了，所以假設(shè)可能不正確，可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的 ? （如果 2天改為 4天， 412/712＝ ,則很難說是小概率事件） 46/69 167。 等可能概型（古典概型） ? 幾何概型（概率的幾何定義） ? 定義： 若試驗(yàn)具有下列兩個(gè)特征： ? (1) 樣本空間的元素有無限個(gè)； ? (2) 每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生具有某種等可能性 . ? 則稱此試驗(yàn)為 幾何概型試驗(yàn) 。 ? 幾何概型的計(jì)算 ? 設(shè)試驗(yàn)的每個(gè)樣本點(diǎn) 是等可能落入?yún)^(qū)域 Ω上的隨機(jī)點(diǎn) M ，且 D ?Ω，則 M點(diǎn)落入子區(qū)域 D(事件 A)上的概率為 : ? P(A)=m(D)/m(Ω). ? 其中 m(?)為自然測度 ? 測度可能是長度、面積、體積，甚至是質(zhì)量，比如均勻分布 47/69 167。 條件概率 ? 條件概率問題是概率論中，內(nèi)容最為豐富的一個(gè)問題，主要考慮： ? 在事件 A發(fā)生的條件下事件 B發(fā)生的概率。 ? 如：通信系統(tǒng)中，出現(xiàn)接收信號錯(cuò)誤，在接收系統(tǒng)正常條件下，由信道產(chǎn)生錯(cuò)誤的概率？ ? (一 ) 條件概率的定義 ? 例 1：一枚硬幣拋兩次，觀察其出現(xiàn) H和 T的情況 ? 設(shè)事件 A：“至少有一次為 H” ? 事件 B：“兩次拋出同一面” ? 求已知事件 A發(fā)生的條件下，事件 B發(fā)生的概率 ? 解：試驗(yàn)本身是古典概型 ? S={HH， HT， TH， TT} ? A={HH， HT， TH } ? B={HH， TT } ? AB={HH} ? 在條件概率下，相當(dāng)于重新確定了樣本空間 ? S?=S∩A=A ； B?=B∩A=AB ? 我們記已知事件 A發(fā)生的條件下事件 B發(fā)生的概率為 P(B|A)，則由古典概型的計(jì)算方法 ? P(B|A)＝ ＝ 1/3 ? 而在無條件時(shí) P(B)＝ 2/4=1/2，可見二者的不同 中的基本事件數(shù)中的基本事件數(shù)AABSBA48/69 167。 條件概率 ? 在 P(B|A)＝ 中， ? 令分子分母同時(shí)除以樣本空間中的基本事件數(shù) n，則有一般的 ? P(B|A)＝ = P(BA)/P(A) ? 其中 P(A)0，顯然對于古典概型上式都成立 ? 于是有如下定義： ? 定義：設(shè) A， B是兩事件， 且 P(A)0，則稱 P(B|A)＝ 為在事件 A發(fā)生的條件下，事件 B發(fā)生的條件概率。 ? 它也符合概率定義的三個(gè)條件： ? 1）非負(fù)性：事件 B，有 P(B|A)?0 ? 2）規(guī)范性：對于必然事件 S，有 P(S|A)=1。 ? 3）可列可加性：設(shè) B1, B2, … , Bk是兩兩互 不相容的事件，即對于 i≠j， BiBj＝ Φ， i， j＝ 1， 2， … ，則有 P( |A)＝ 中的基本事件數(shù)中的基本事件數(shù)AAB中的基本事件數(shù)中的基本事件數(shù) 中的基本事件數(shù)中的基本事件數(shù) SA SAB / /)()(APABP???1i i