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高中數學函數經典例題題詳解(編輯修改稿)

2026-02-11 09:39 本頁面

　

【文章內容簡介】證明：(1)由題設 f(x1)=x1, ∴f(f(x1))=f(x1)=x1 即x1是方程f(f(x))=x的根.　　同理，x2也是f(f(x))=x的根.(2) 由題設f(x)x=(xx1)(xx2) ∴ f(x)=(xx1)(xx2)+x......(*) 則f(x)x1=(xx1)(xx2)+xx1=(xx1)(xx2+1) 同理 f(x)x2=(xx2)(xx1+1)(2)若四次方程f(f(x))=x的另兩個根為x3,x4，且x3x4，試判斷x1,x2,x3,x4的大小.由(*)，f(f(x))x=[f(x)x1][f(x)x2]+f(x)x =(xx1)(xx2+1)(xx2)(xx1+1)+(xx1)(xx2) =(xx1)(xx2)[(xx1+1)(xx2+1)+1]令 g(x)=(xx1+1)(xx2+1)+1, 及題設 x2x12. ∴ g(x1)=(x1x2+1)+1=x1x2+20 g(x2)=x2x1+20.又g(x)圖象開口向上，如圖所示，方程g(x)=0在(∞,x1),(x1,x2)內分別有一根，又x3x4，∴x4∈(∞,x1),x3∈(x1,x2)，故：x2x3x1x4即為所求.17．設函數f(x)=x2+px+q(p,q∈R). (1)若q=2，求使不等式f(x)2的解集A滿足(0,2)204。A204。(0,10)的p的范圍； (2)當p在(1)的范圍內變化時，是否存在實數對(p,q)，使不等式|f(x)|2在區間[1,5]上無解.解：(1) 當q=2時，f(x)2 即為x2+px+2＜2, 化簡得x(x+p)0，而它的解集A滿足(0,2)204。A204。(0,10)，結合數軸，則2p10 即 10p2.(2)假設存在實數對(p,q)，使不等式|f(x)|2在[1,5]區間上無解，只需|f(x)|≤2在[1,5]區間上恒成立，即當x∈[1,5]時，恒有2≤f(x)≤2成立即可.(2)當p在(1)的范圍內變化時，是否存在實數對(p,q)，使不等式|f(x)|2在區間[1,5]上無解.而，且由(1)知. 再由f(x)的圖象是開口向上的拋物線弧段，得fmax=max{f(1),f(5)}, 則(*)，由不等式的基本性質： , 解得：,則p=6. 將p=6代回(*)得，解得，∴q=7.故存在實數對(p,q)=(6,7)使|f(x)|2在[1,5]區間上無解. 指數函數. （1）若，求的值；（2）若對于恒成立，求實數的取值范圍。（1）當時，；當時，. 由條件可知，即，解得 . ，. （2）當時，即 .， . ，故的取值范圍是. ,且.(Ⅰ)當時,求在處的切線方程；(Ⅱ)當時,設所對應的自變量取值區間的長度為(閉區間的長度定義為),試求的最大值；(Ⅲ)是否存在這樣的，使得當時,?若存在,求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.解: (Ⅰ)當時,.因為當時,且,所以當時,且……………………………………(3分)由于,所以,又,故所求切線方程為,即………………………………………………………(5分) (Ⅱ) 因為,所以,則① 當時,因為,所以由,解得,從而當時, ……………………………………………(6分)② 當時,因為,所以由,解得,從而當時, …………………………………………(7分)③當時,因為,從而一定不成立………………………………………………………………(8分)綜上得,當且僅當時,故 …………………………………………(9分)從而當時,取得最大值為…………………………………………………(10，為正整數ks5u．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）若數列的通項公式為（），求數列的前項和；（Ⅲ）設數列滿足：，設，若（Ⅱ）中的滿足對任意不小于3的正整數n，恒成立，試求m的最大值. ks5u 解：（Ⅰ）=1；===1；…………４分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ,即由, ……………①得 …………②由①＋②, 得∴，…10分（Ⅲ） ∵,∴對任意的. ∴即.∴.∵∴數列是單調遞增數列.∴關于n遞增. 當, 且時, .∵∴∴ ∴.而為正整數，∴的最大值為650. ………………………………………………16分＞0，是R上的偶函數.（1）求a的值；（2）證明在上是增函數．解：（1）∵ 是R上的偶函數，∴ .∴ .ex－ex不可能恒為“0”， ∴ 當－a＝0時等式恒成立， ∴a＝1．（2）在上任取x1＜x2， ∵ e＞1，x1＜x2， ∴ ， ∴＞1，＜0，∴ ， ∴ 是在上的增函數．對數函數22.（本小題滿分12分）已知函數，（1）當時，求該函數的定義域和值域；（2）如果在區間上恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）當時，令，解得所以函數的定義域為．令，則所以因此函數的值域為（2）解法一：在區間上恒成立等價于在區間上恒成立令當時，所以滿足題意．當時，是二次函數，對稱軸為，當時，函數在區間上是增函數，解得；當時，，解得當時，，解得綜上，的取值范圍是解法二：在區間上恒成立等價于在區間上恒成立由且時，得令，則所以在區間上是增函數，所以因此的取值范圍是．：函數的定義域為R；命題q：不等式對一切正實數均成立。（1）如果p是真命題，求實數a的取值范圍；（2）如果命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍；（1）若命題p為真，即恒成立①當a=0時，不合題意…………………………2分②，可得………………………………………………5分（2）令由x0得若命題q為真，則……………………8分由命題“p或q”為真且“p且q”為假，得命題p、q一真一假…………………………………………10分①當p真q假時，a不存在②當p假q真是，(x)＝loga(x－3a)(a0，且a≠1)，當點P(x，y)是函數y＝f(x)圖象上的點時，Q(x－2a，－y)是函數y＝g(x)圖象上的點．⑴寫出函數y＝g(x)的解析式．⑵當x∈[a＋2，a＋3]時，恒有|f(x)－g(x)|≤1，試確定a的取值范圍．解：(Ⅰ)設P(x0，y0)是y＝f(x)圖象上點，Q(x，y)，則

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