高等代數(shù)行列式ppt課件(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡介】 121212111211??因此 由推論 ，可以把公因子 k提到行列式符號的外邊，于是得到一個有兩行完全相同的行列式；由推論 ，這個行列式等于零。 命題 如果將行列式中的某一行（列）的每 一個元素都寫成兩個數(shù)的和，則此行列式可以寫 成 兩個行列式的和，這兩個行列式分別以這兩個數(shù)為所在行（列）對應(yīng)位置的元素，其它位置的元素與原行列式相同。即如果 nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaD??????????21221111211????nnnniniinaaacccaaaD??????????2121112112 ?nnnniniiinaaabbbaaaD??????????21221112111 ? , 則 21 DDD ??。 證 D的每一項可以寫成 nii njijijj acba ?? )(11 ?式，它的符號是 的形 )( 21)1( njjj ??? 。去掉括弧，得 nininii njijjnjijjnjijijj acaabaacba ?????? 111 111 )( ???但一切項 ni njijj aba ??11附以原有符號后的和等于 行列式 nnnniniiinaaabbbaaaD??????????21221112111?nnnniniinaaacccaaaD??????????2121112112?一切項 ni njijj aca ??11附以原有符號后的和等于行 列式 因此 21 DDD ?? 推論 如果將行列式的某一行（列）的每個元素都寫成 m 個數(shù)（ m 為大于 2的整數(shù)）的和，則此行列式可以寫成 m 個行列式的和。 命題 將行列式的某一行（列）的所有元素同乘以數(shù) k 后加于另一行（列）對應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變。 證 設(shè)給定行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD???????212222111211?把 D的第 j行的元素乘以同一個數(shù) k后 ,加到第 i行的對應(yīng)元素上 ,我們得到行列式 : 的第 i行與第 j列成比例； nnnnjnjjjninjijinaaaaaakaakaakaaaaaD????????????????2121221111211????由命題 ， 1DDD ??nnnnjnjjjnjjnaaaaaakakakaaaaD????????????????212121112111?此處 所以 DD ?由推論 ， 1 0D ?1D例 2 計算行列式 .321321321333222111aaaaaaaaaD??????????解： 根據(jù)例題 ,從 D的第二列和第三列的元素減去第一列的對應(yīng)元素 (即把 D的第一列的元素同乘以－１后 ,加到第二列和第三列的對應(yīng)元素上 ),得 .211211211321aaaD????這個行列式有兩列成比例 ,所以根據(jù)推論 ,D=0. 例 3 計算 n階行列式 0111101111011110??????????D解 : 我們看到 ,D的每一列的元素的和都是 n－１．把第二，第三， … ，第 n行都加到第一行上，得 .0111101111011111????????? ?????nnnnD根據(jù)推論３ .３ .６ ,提出第一行的公因子 n－１ ,得 .0111101111011111)1(??????????? nD由第二 ,第三 ,…, 第 n行減去第一行 ,得 .1000010000101111)1(??????????????nD由行列式定義 ,易見后一行列式等于對角線上元素的乘積 .)1( 1?? n所以 ).1()1( 1 ??? ? nD n例 1 設(shè) ,1333231232221131211?aaaaaaaaa求 .53531026333231232221131211aaaaaaaaa????練習(xí)選講： 例 2 證明奇數(shù)階反對稱行列式的值為零 .例 3 計算 .3351110243152113???????D例 4 計算 .3111131111311113?D.1111000000332211aaaaaa???例 5 計算例 6 計算 .3610363234232dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD???????????????????例 8 解方程.0?113211232113221132111321???????????????xaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaannnnnnnnnnnn???????????,)det(,)de t(1111211111nnnnijkkkkijbbbbbDaaaaaD????????????證明 .21DDD ?例 7 設(shè)nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD?????????? ??1111111111110?000 ??? 子式和代數(shù)余子式 行列式依行 (列 )展開 一、內(nèi)容分布 二、教學(xué)目的： 證明行列式的技巧。 三、重點難點： 利用行列式的依行依列展開定理熟練計算及證明行列式 ．余子式與代數(shù)余子式 定義 1 在一個 n階行列式 D中任意取定 k行和 k列 . 位于這些行列相交處的元素所構(gòu)成的 k階行列式叫做行列式 D的一個 k階子式 . 例 1 在四階行列式 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?中 ,取定第二行和第三行 ,第一列和第四列 .那么位于這些行列的相交處的元素就構(gòu)成 D的一個二階子式 .34312421aaaaM ?定義 2 n (n1)階行列式 nnnjninijinjaaaaaaaaaD????????????????111111?的某一元素 ija的余子式 ijM指的是在 D中劃去 ija所在行和列后所余下的 n－ 1階子式 . 例 2 例 1的四階行列式的元素 的余子式是 23a.44424134323114121123aaaaaaaaaM ?ijaija定義 3 n階行列式 D的元素 的余子式 附以符號 后 ,叫做元素 的代數(shù)余子式 . ija ijMji?? )1(元素 的代數(shù)余子式用符號 來表示 : ijA.)1( ijjiij MA ???例 3 例 1中的四階行列式 D的元素 的代數(shù)余子式 23a.)1(44424134323114121123233223aaaaaaaaaMMA ?????? ?定理 若在一個 n階行列式 nnnjninijinjaaaaaaaaaD????????????????111111?ija中 ,第 i行 (或第 j列 )的元素除 外都是零 ,那么這個行列式等于 與它的代數(shù)余子式 的乘積 : ijaijA.ijij AaD ?證 我們只對行來證明這個定理 1) 先假定 D和第一行的元素除 外都是 0，這時 11annnnnaaaaaaaD???????212222111 00?我們要證明： 11111111111111 )1( MaMaAaD ???? ?也就是說： nnnnnnaaaaaaaaa